Метод последовательного исключения неизвестных

(метод Гаусса).

Рассмотрим один из основных методов решения систем линейных уравнений, который называется методом последовательного исключения неизвестных, или иначе, методом Гаусса. Рассмотрим систему (1) m линейных уравнений с n неизвестными над полем Р:

(1) .

В системе (1) хотя бы один из коэффициентов при не равен 0. В противном случае (1) - система уравнений с () неизвестными - это противоречит условию. Поменяем местами уравнения так, чтобы коэффициент при в первом уравнении был не равен 0. Таким образом, можно считать, что . Умножим обе части первого уравнения на и прибавим к соответствующим частям второго, третьего, …, m-го уравнений соответственно. Получим систему вида: , где s - наименьшее число, такое что хотя бы один из коэффициентов при не равен 0. Поменяем местами уравнения так, чтобы во второй строке коэффициент при переменной был не равен 0, т.е. можем считать, что . Тогда умножим обе части второго уравнения на и прибавим к соответствующим частям третьего, …, m-го уравнений соответственно. Продолжая этот процесс, получим систему вида:

- система линейных уравнений, которая, согласно теореме 1, равносильна системе (1). Система называется ступенчатой системой линейных уравнений. Возможны два случая:

1) Хотя бы один из элементов не равен 0. Пусть, например, . Тогда в системе линейных уравнений есть уравнение вида , что невозможно. Это означает, что система не имеет решений, и поэтому система (1) не имеет решений (в этом случае (1) - несовместная система).

2) Пусть ,…, . Тогда с помощью элементарного преобразования З) получим систему - систему r линейных уравнений с n неизвестными. При этом переменные при коэффициентах называются главными переменными (это ), их всего r. Остальные (n-r) переменных называют свободными.

Замечание 4. На практике в качестве свободных часто выбирают произвольно (n-r) переменных, а остальные являются главными.

Возможны два случая:

1) Если r=n, то - система треугольного вида. В этом случае из последнего уравнения находим переменную , из предпоследнего - переменную ,…, из первого уравнения - переменную . Таким образом, получаем единственное решение системы линейных уравнений , а значит, и системы линейных уравнений (1) (в этом случае система (1) определена).

2) Пусть r<n. В этом случае главные переменные выражают через свободные и получают общее решение системы линейных уравнений (1). Придавая свободным переменным произвольные значения, получают различные частные решения системы линейных уравнений (1) (в этом случае система (1) неопределена).

Замечание 5. При решении системы линейных уравнений методом Гаусса элементарные преобразования производят не над системой, а над её расширенной матрицей.

Алгоритм решения системы линейных уравнений методом Гаусса

1. Составить расширенную матрицу системы линейных уравнений (1) и с помощью элементарных преобразований привести к ступенчатому виду.

2. Провести исследование: а) если , то система (1) несовместна;

б) если , то система (1) совместна.

При этом если r=n, то система (1) определена,

если r<n, то система (1) неопределена.

3. Найти решение системы, соответствующей полученной ступенчатой матрице.

Замечание 6. () – ранг матрицы (), равен числу ненулевых строк в матрице после приведения ее к ступенчатому виду.