И их основные свойства.

1. Сложение матриц.

Определение 16. Пусть A=(a_ij), B=(b_ij) - матрицы размера m×n над полем Р. Суммой матриц А и В называется матрица С=(c_ij) размера m×n над полем Р, где c_ij=a_ij+b_ij, i=, j=, и обозначается С=А+В.

2. Умножение матрицы на скаляр.

Определение 17. Пусть A=(a_ij) – матрица размера m×n над полем P, P. Произведением матрицы А на элемент называется матрица С=(с_ij) размера m×n над полем P, где с_ij= a_ij , j=, i=, и обозначается С=А.

3. Произведение матриц.

Определение 18. Пусть A=(a_ij) – матрица размера m×n над полем P, B=(b_ij) - матрица размера n×k над полем P. Произведением матриц А и В называется матрица С=(с_ij) размера m×k над полем P, в которой элемент с_ij равен скалярному произведению i-й строки матрицы А на j-й столбец матрицы B, т.е.

с_ij=A_iB^j=(a_i1 ... a_in)⋅=a_i1b_1j+^…+a_inb_nj=, i=, j=, и обозначается С=A⋅B.

4. Транспонирование матрицы.

Определение 19. Пусть A - матрица размера m×n над полем P. Транспонированием матрицы А называется операция замены в матрице А i-й строки на i-й столбец, i=. Матрица, полученная в результате транспонирования матрицы A, называется матрицей, транспонированной к матрице A, и обозначается ^tA.

Пример 1.

Если A =, то =. Таким образом, если А – матрица размера m×n, то - матрица размера n×m.

Определение 20. Две матрицы A=(a_ij) и B=(b_ij) размера m×n над полем P называются равными, если a_ij=b_ij, i=, j=, и обозначаются А=В.

Определение 21. Матрица над полем P называется нулевой, если все ее элементы равны нулю, и обозначается =.

Свойство 1. Для любых матриц А и В размера m×n над полем P выполняется равенство: А+В=В+А.

Свойство 2. Для любых матриц А, В, С размера mxn над полем P выполняется равенство: А+(В+С)=(А+В)+С.

Свойство 3. Для любой матрицы А над полем P выполняется равенство: А+=+А=А.

Свойство 4. Для любой матрицы А над полем P существует матрица (-А) такая, что А+(-А)=-А+А=.

Доказательство свойств 1-4. Так как сложение матриц сводится к сложению элементов поля Р, а в поле Р сложение коммутативно и ассоциативно, существует нулевой элемент и для каждого элемента есть противоположный, то эти свойства выполняются и для матриц.

Замечание 7. М_m,n(Р) – множество всех матриц размера m×n над полем P. Из свойств 1-4 следует, что М_m,n(Р) является аддитивной абелевой группой.

Свойство 5. Пусть А, В, С - матрицы над полем Р. Если существует произведение (АВ)С, то существует и произведение А(ВС), причем (АВ)С=А(ВС).

Доказательство. Пусть существует произведение (АВ)С. Тогда существуют матрицы АВ размера m×n и матрица С размера n×k. Это означает, что существуют матрицы А размера m×l и В размера l×n. Таким образом, существуют матрицы А, В и С соответственно размера m×l, l×n и n×k. Тогда существует произведение BC размера l×k и поэтому существует произведение А(ВС).

Покажем, что (AB)C=A(BC). Пусть (АВ)С=(x_ij), А(ВС)=(y_ij), i=, j=. Покажем, что x_ij=y_ij, i=, j=. Пусть A=(a_ip), B=(b_ps), С=(с_sj), АВ=R=(r_is), BC=T=(t_pj), s=, p=. Тогда

x_ij=R_iC^j====,

y_ij=A_iT^j====.

Таким образом, x_ij=y_ij , i=, j=. Следовательно, (AB)C=A(BC).

Свойство доказано.

Свойство 6. Пусть A, B, C – матрицы над полем P следующих размеров: А и В – размера m×n, С – размера n×k. Тогда (А+В)С=АС+ВС.

Доказательство. Пусть (А+В)С=(x_ij), АС+ВС=(y_ij), i=, j=. Покажем, что x_ij=y_ij, i=, j=. Пусть A=(a_is), B=(b_is), С=(с_sj), i=, s=, j=. Тогда x_ij=(A+B)_iС^j= ====A_iC^j+B_iC^j=y_ij. Следовательно, (А+В)С=АС+ВС.

Свойство доказано.

Свойство 7. Если произведение AB существует, то существует произведение ^tB ^tA, причем ^t(AB)= ^tB ^tA.

Доказательство. Пусть существует произведение AB. Тогда А – матрица размера m×n, а В – n×k над полем Р. Следовательно, ^tA и ^tB – матрицы размера n×m и k×n соответственно. Значит, произведение ^tB ^tA сущуствует.

Покажем, что ^t(AB)= ^tB ^tA. Пусть AB=С=(c_ij), , , D=^tC=(d_ij). Тогда d_ij=c_ji=. Пусть f_ij – элемент матрицы ^tB^tA. Тогда f_ij=(^tB)_i⋅(^tA)^j=Bⁱ⋅A_j=. Значит, d_ij=f_ij и ^t(AB)= ^tB ^tA.

Свойство доказано.

Замечание 8. Пусть M_n(P) - множество всех квадратных матриц n-го порядка над полем P. Из свойств операций над матрицами следует, что M_n(P) - ассоциативное кольцо с единицей. Отметим, что умножение матриц некоммутативно.

Свойство 8. Пусть А и В – матрицы над полем P, P. Тогда AB=(A)B=A(B).