Определение 22. Матрица n-го порядка вида называется единичной матрицей.
Замечание 9. Если А – матрица размера m×n над полем Р, то АЕn=EnA=A.
Определение 23. Матрица А n-го порядка над полем Р называется обратимой, если существует такая матрица В над полем Р, что АВ=ВА=Еn. Матрица В называется матрицей, обратной для матрицы А, и обозначается А-1.
Определение 24. Матрица А называется невырожденной (неособенной), если ее вектор-строки образуют линейно независимую систему; матрица А называется вырожденной (особенной), если ее вектор-строки образуют линейно зависимую систему.
Определение 24'. Матрица А называется невырожденной (неособенной), если после приведения ее к ступенчатому виду в А нет нулевых строк; матрица А называется вырожденной (особенной), если после приведения ее к ступенчатому виду в А есть нулевые строки.
Определение 25. Невырожденными элементарными преобразованиями матрицы над полем Р называются:
1) умножение всех элементов некоторой строки матрицы на элемент α≠0, α∈Р;
2) умножение всех элементов некоторой строки матрицы на элемент α≠0, α∈Р и прибавление их к соответствующим элементам другой строки.
Замечание 10. Невырожденные элементарные преобразования матрицы также называют строчными преобразованиями.
Определение 26. Матрица Eα(i, j) называется элементарной матрицей, если на (i, j)-ом месте стоит элемент α, на главной диагонали – единицы, а все остальные элементы – нули.
Лемма 1. Первому элементарному преобразованию матрицы А (умножение i-ой строки на элемент α) соответствует умножение матрицы А слева на матрицу S1= Eα(i,i).
Доказательство. Осуществляется непосредственной проверкой.
Лемма 2. Второму элементарному преобразованию матрицы А (умножение i-ой строки на элемент α и прибавление к j-ой строке) соответствует умножение матрицы А слева на матрицу S2= Eα(i,j).
Доказательство. Осуществляется непосредственной проверкой.
Лемма 3. Пусть А и В – матрицы n-го порядка. Если матрица А вырождена, то и матрица А⋅В также вырождена.
Теорема 2. Матрица А n-го порядка невырождена тогда и только тогда, когда с помощью элементарных преобразований она приводится к единичной матрице Еn.
Доказательство. Необходимость. Пусть матрица А невырождена. Тогда, по определению 24', после приведения ее к ступенчатому виду она не содержит нулевых строк. Следовательно, А имеет вид . Проводя рассуждения, аналогичные действиям для приведения А к ступенчатому виду, симметрично относительно главной диагонали, можно привести А к диагональной, а значит, к единичной матрице.
Достаточность. Пусть матрица А приводится с помощью элементарных преобразований к единичной. Тогда она имеет ступенчатый вид и в А нет нулевых строк. Следовательно, по определению 24', А невырождена.
Теорема доказана.
Теорема 3. Пусть А – матрица n-го порядка над полем Р. Матрица А обратима тогда и только тогда, когда А невырождена.
Доказательство. Необходимость. Пусть А – обратимая матрица. Докажем, что матрица А невырождена. Допустим, что А – вырожденная матрица. Так как А обратима, то В: АВ=ВА=Еn. Согласно лемме 3, из того, что матрица А вырождена следует, что матрица АВ вырождена, т.е. Еn – вырожденная матрица. Противоречие. Следовательно, А – невырожденная матрица.
Достаточность. Пусть А – невырожденная матрица. Тогда по теореме 2 матрица А с помощью элементарных преобразований приводится к матрице Еn. В силу лемм 1 и 2, существуют элементарные матрицы S1,…,Sp, такие, что Sp…S2S1A=En => (Sp…S2S1)A=En. Пусть Sp…S1=B. Тогда BA=En (1). Допустим, что В – вырожденная матрица. По лемме 3, ВА – вырожденная матрица и, значит, Еn – вырожденная матрица. Противоречие. Следовательно, В – невырожденная матрица. По теореме 2, матрица В с помощью элементарных преобразований приводится к матрице Еn. Тогда, как и выше, существует матрица С, такая что СВ=Еn (2). Следовательно, по замечанию 9, C=СЕn=C(BA)=(CB)A=EnA=A , т.е. C=A. Следовательно, AB=En (3). Из (1) и (3) получаем АВ=ВА=Еn и А – обратимая матрица.
Теорема доказана.
Теорема 4. Если А и В – невырожденные матрицы одинаковых порядков, то произведение АВ – тоже невырожденная матрица, причем (АВ)-1=В-1А-1.
Замечание 11. Из доказательства теоремы 3 следует, что (Sp…S2S1)A=En (4) и BЕn=B , т.е. (Sp…S1)En=A-1 (5). Из (4) и (5) получаем, что если элементарные преобразования, соответствующие матрицам Sp,…,S1, приводят матрицу А к матрице Еn, то эти же элементарные преобразования приводят матрицу Еn к матрице А-1. Отсюда вытекает алгоритм вычисления обратной матрицы:
1) составить матрицу вида (А|Еn).
2) привести в матрице (А|Еn) подматрицу А к единичной матрице Еn. При этом, подматрица Еn, стоящая справа, будет приведена к матрице А-1, т.е. получим матрицу (Еn|А-1).
Матричные уравнения.
Простейшие матричные уравнения имеют вид: 1) AX=B, 2) XA=B, 3) AXB=C, где А,В,С – некоторые матрицы.
Если А-1, то в случае 1) X=A-1B, в случае 2) X=BA-1, в случае 3) XB=A-1C. Если B-1, то в случае 3) X=A-1CB-1.
Если А-1 не существует, то в случаях 1) и 2) матрица X находится следующим образом:
– определяется размерность X;
– записывается X в общем виде;
– перемножаются А и X и, используя определение равенства матриц, записывается и решается система линейных уравнений.
6. Перестановки n-й степени.