Теорема о четности перестановки.

Определение 27. Пусть М={1,2,…,n}. Перестановкой на множестве М или перестановкой n-й степени называется множество М с заданным расположением его элементов, и обозначается I=(i₁i₂…i_n), где i₁,i₂,..,i_n – попарно различные элементы из М.

Пример 2. Пусть М={1,2,3}. Тогда перестановки на М имеют вид: I₁=(132), I₂=(231), I₃=(123) и т.д.

Определение 28. Инверсией или беспорядком перестановки I называется любая пара символов перестановки I, в которой символ, стоящий левее, больше символа, стоящего правее.

Пример 3. В перестановке I₂=(231) две инверсии: 31 и 21.

Через (I) обозначается число всех инверсий перестановки I.

Определение 29. Перестановка I называется чётной, если (I) – чётное число, в противном случае перестановка I называется нечётной.

В примере 3 перестановка I – чётная.

Через S_n обозначается множество всех перестановок n-ой степени.

Утверждение 1. | S_n |=n!.

Теорема 5 (теорема о чётности перестановки). Пусть в перестановке I на i-ом месте находится символ j. Если перестановка I₁ получена из перестановки I удалением символа j, то (-1)=(-1)^+i+j .

Теорема 6. Четность перестановки изменится, если в ней поменять местами два произвольных символа.

 

 

7. Определители n-го порядка.