Пусть А=- матрица n-го порядка над полем Р.
Из элементов матрицы А будем составлять всевозможные произведения, состоящие из n множителей, любые два различных из которых находятся в разных строках и разных столбцах. Таким, например, является произведение элементов, стоящих на главной диагонали: a11a22…ann. Все такие произведения можно получить по следующему правилу: выберем для произведения из первой строки матрицы А некоторый элемент , затем вычеркнем первую строку и j1-й столбец, и в полученной подматрице из первой строки выбираем некоторый элемент и т.д. Через конечное число шагов получим произведение вида: ….
Так как j1,j2,…,jn – попарно различные элементы из множества М={1,2,…,n}, то вторые индексы в записанном произведении образуют перестановку I=(j1j2…jn).
Рассмотрим выражение вида: (-1)(I) (1), где I=(j1j2…jn).
Выражений вида (1) можно образовать столько, сколько существует перестановок, составленных из вторых индексов, т.е., ввиду утверждения 1, их будет n!.
Определение 30. Пусть А=- матрица n-го порядка над полем Р. Определителем матрицы А (или, коротко, определителем n-го порядка) называется элемент поля Р, равный
.
Используются следующие обозначения: =, =|A|, =|aij|, i=, j=, =det A.
1) Пусть Δ – определитель 2-го порядка, т.е. Δ ==.
= 2! = 2; M =.
Так как I1 = (12) = 0 ,
I2 = (21) = 1 , то
Δ = = .
Таким образом, определитель 2-го порядка равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали, минус произведение элементов, стоящих на побочной диагонали.
2) Пусть Δ - определитель 3-го порядка: Δ = = .
|S3|= 3! = 6; M =.
I1 = (123) = 0 ;
I2 = (213) = 1 ;
I3 = (312) = 2 ;
I4 = (321) = 3 ;
I5 = (132) = 1 ;
I6 = (231) = 2 .
Следовательно,
Δ== .
Таким образом, определитель 3-го порядка равен сумме шести слагаемых, три из которых со знаком +:
произведение элементов на главной диагонали,
произведение элементов на диагонали, параллельной главной, умноженное на элемент, стоящий в противоположном углу,
произведение элементов второй диагонали, параллельной главной, умноженное на элемент, стоящий в противоположном углу;
Остальные три слагаемых со знаком «-», которые получают аналогично, только рассуждения проводят для побочной диагонали.
Записанное правило называют правилом Сарриуса.