Связь алгебраических дополнений с минорами.

Пусть Δ = = .

Определение 31. Если в определителе Δ сгруппировать все слагаемые, содержащие элемент и, сгруппировав, вынести элемент за скобки, то выражение, полученное в скобках, обозначается Aij и называется алгебраическим дополнением к элементу в определителе Δ, i = , j = .

Так как все элементы i-той строки определителя Δ входят в одно и только одно из слагаемых, то Δ=ai1Ai1+ ai2Ai2+ … + ainAin (1). Равенство (1) называется разложением определителя Δ по i-той строке.

Аналогично: Δ=a1jA1j+ a2jA2j+ … + anjAnj (2) - разложение определителя Δ по j-тому столбцу, j =.

Строки и столбцы определителя Δ называются его рядами. Таким образом, (1) и (2) – разложения Δ по ряду.

Определение 32. Если в определителе Δ вычеркнуть i-тую строку и j-тый столбец, то на их пересечении получится элемент aij, а остальные элементы образуют определитель (n-1)-го порядка, который обозначается Mij и называется минором к элементу aij в определителе Δ, i = , j = .

Пример 4. Пусть Δ = . Тогда M23 =и т.д.

Теорема 7. Пусть Δ - определитель n-го порядка над полем P, Aij и Mijалгебраическое дополнение и минор к элементу aij в Δ соответственно. Тогда

Aij=(-1)i+ jMij, i = , j = .

Доказательство. Пусть Δ1 - сумма всех тех слагаемых из Δ, которые содержат элемент aij, т.е. Δ1== (3). Вторые индексы в (3) образуют перестановку I1, полученную из перестановки I удалением символа j с i-того места. Тогда, по теореме о четности перестановки, получим = =aij(-1)i+jMij, т.е. Δ1 = aij(-1)i+jMij (4). С другой стороны Δ1 =aijAij (5). Из (4) и (5) следует, что aij(-1)i+jMij = aijAij. Тогда Aij = (-1)i+jMij.

Теорема доказана.

Теорема 8. Квадратная матрица А является вырожденной тогда и только тогда, когда |A| = 0.

 

9. Свойства определителей.

Свойство 1. При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется.

Доказательство. Пусть - матрица n-го порядка над полем Р. Транспонируя А, получим

. Всевозможные произведения вида будут одинаковыми как для матрицы А, так и для матрицы tА. При этом знак произведения сохраняется. Таким образом, ∣А∣=∣ tА∣.

Свойство доказано.

Замечание 12. Из свойства 1 следует, что все утверждения, справедливые для какой-либо строки определителя, верны и для его столбца

Свойство 2. Если все элементы некоторой строки определителя равны нулю, то определитель равен нулю.

Доказательство. В каждое произведение определителя обязательно входит один элемент строки, состоящей из нулей. Поэтому все слагаемые определителя раны нулю, а, значит, и определитель равен нулю.

Свойство доказано.

Свойство 3. От перестановки двух строк местами определитель меняет знак.

Доказательство. Пусть Δ = .

В определителе Δ переставим i-ю и j-ю (i<j) строки местами. Получим:

Δ '= .

Пусть - одно из произведений определителя Δ. Тогда соответствующим для определителя Δ' будет произведение . Эти произведения различаются только индексами сомножителей. Перестановка (k1 k2 kjkikn) получена из перестановки (k1 k2kikjkn). Такое преобразование, по теореме 6, меняет четность перестановки, а, следовательно, знак рассматриваемого произведения. Таким образом, при перестановке двух строк местами все произведения, составляющие определитель Δ, поменяют знак. Следовательно, поменяет знак и Δ.

Свойство доказано.

Свойство 4. Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.

Доказательство. Пусть определитель Δ содержит две одинаковые строки: i-ю и j-ю. Поменяем их местами. По свойству 3, определитель Δ поменяет знак: Δ'=-Δ. Но, так как строки одинаковые, то Δ'=Δ. Значит, Δ=-Δ и Δ=0.

Свойство доказано.

Свойство 5. Общий множитель всех элементов некоторой строки определителя можно вынести за знак определителя.

Доказательство. Δ = = . Пусть элементы i-ой строки имеют общий множитель α. Так как в каждое слагаемое вида входит элемент этой строки, то все такие произведения имеют общий множитель α, который можно вынести за знак всей суммы в Δ.

Свойство доказано.

Свойство 5'. Если все элементы некоторой строки определителя Δ умножить на одно и тоже число, то определитель умножится на это число.

Свойство 6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.

Доказательство. Пусть Δ = , причем ai1=aj1, ai2=aj2, …, ain=ajn. Вынесем элемент α из j-ой строки за знак определителя Δ. Получим: Δ = . Тогда, по свойству 4, Δ =α⋅0=0.

Свойство доказано.

Свойство 7. Если все элементы i-ой строки определителя представлены в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки, кроме i-ой, те же, что и у данного определителя, i-я строка одного определителя состоит из первых слагаемых i-ой строки данного определителя, а i-я строка второго – из вторых слагаемых i-ой строки данного определителя.

Свойство 8. Определитель не изменится, если к элементам одной строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.

Свойство 9. Сумма произведений элементов какой-либо строки определителя n-го порядка на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки равна нулю, то есть ai1Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn=0 где ij.