Определитель произведения матриц. - раздел Математика, Элементы теории множеств Понятие множества. Подмножество. Операции над множествами. Теорема 9. Пусть А И В – Матрицы N-Го Порядка Над...
Теорема 9. Пусть А и В – матрицы n-го порядка над полем P. Тогда |AB|=|A|∙|B|, т.е. определитель произведения матриц равен произведению определителей множителей.
Доказательство. а) Пусть А – вырожденная матрица. Тогда по теореме 8 |A|=0. Далее, так как матрица А вырождена, то по лемме 3, АВ – вырожденная матрица => |AB|=0. Таким образом, |AB|=0=0∙|B|=|A|∙|B|.
б) Пусть А – невырожденная матрица. Тогда с помощью элементарных преобразований матрица А приводится к матрице Еn. Согласно леммам 1 и 2, это равносильно тому, что матрица А приводится к матрице Еn с помощью умножения слева на элементарные матрицы, т.е. существуют элементарные матрицы S1,…,Sp такие, что (Sp∙…∙S1)A=En => A-1=Sp∙…∙S1. Рассмотрим (А-1)-1:
А=(A-1)-1=(Sp∙…∙S1)-1=S1-1∙S2-1∙…∙Sp-1. (Действительно, (C1C2)-1=C2-1C1-1, так как (С1С2)∙(С2-1С1-1)=С1С2∙С2-1С1-1=Е).
Таким образом, A=S1-1∙…∙Sp-1 => AB=S1-1∙…∙Sp-1B (1).
В силу (1) докажем, что |S1-1∙…∙Sp-1∙B|=|S1-1∙…∙Sp-1|∙|B|. Доказательство проведём методом математической индукции по параметру p.
1) Проверим, что утверждение верно при р=1, т.е. проверим, что |S1-1B|= =|S1-1|∙|B|.
Предварительно докажем, что если S – элементарная матрица, то S-1 – также элементарная матрица. Пусть матрица S имеет вид Еα(i,i) (2), т.е. . Тогда =. Действительно, S∙S-1==Еn.
Пусть матрица S имеет вид Еα(i,j), ij (3). Тогда нетрудно проверить, что S-1=. Таким образом, если S – элементарная матрица, то S-1 – также элементарная матрица.
Тогда если S1-1 – матрица типа (2), то по свойству 5 определителей получаем |AB|=|S1-1∙B|=α∙|B|=|S1-1|∙|B|=|A|∙|B|. Если S1-1 – матрица типа (3), то по свойству 8 определителей имеем |AB|=|S1-1B|=|B|=1∙|B|=|S1-1|∙|B|=|A|∙|B|. Следовательно, при р=1 утверждение верно.
2) Предположим, что утверждение верно для числа множителей, меньшего р.
3) Докажем, что утверждение верно для р множителей.
Из (1) следует, что |AB|=|S1-1∙…∙Sp-1∙B|=|(S1-1∙…∙Sp-1-1)∙(Sp-1∙B)|. Пусть Sp-1∙B=B1. Тогда |AB|=|S1-1∙…∙Sp-1-1∙B1||S1-1∙…∙Sp-1-1|∙|B|=|S1-1∙…∙Sp-1-1|∙ ⋅|Sp-1∙B||S1-1∙…∙Sp-1-1|∙|Sp-1|∙|B| |S1-1∙…∙Sp-1-1∙Sp-1|∙|B|=|A|∙|B|. Следовательно, утверждение верно для р.
Из 1)-3) по методу математической индукции получаем, что утверждение верно ℕ.
В школьном курсе математики рассматривались операции над числами При этом были установлен ряд свойств этих операций... На ряду с операциями над числами в школьном курсе также рассматривались и... Основной целью курса алгебры является изучение алгебр и алгебраических систем Курс алгебры находит обширное...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Определитель произведения матриц.
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Диаграммы Эйлера-Венна.
Как в повседневной жизни, так и научных исследованиях часто приходится рассматривать совокупности вещей, системы объектов и т.д. При этом во всех случаях подразумевают, что рассматривается некоторо
Свойства операций над множествами.
Согласно определению 1, множества А и В равны в том и только том случае, когда А⊆В и В⊆А.
Теорема 1. Пусть
Бинарные отношения между множествами.
Определение 14. Бинарным отношением называется всякое множество упорядоченных пар.
В математике при рассмотрении связи между объектами используют термин «отношение». Примерам
Фактормножество.
Определение 27. Бинарное отношение R на множестве А называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично, транзитивно на множестве А.
Опр
Упорядоченное множество.
Определение 30. Бинарное отношение R на множестве А называется отношением порядка, если оно антисимметрично и транзитивно на А.
Определение 31. Би
Функция как бинарное отношение.
Определение 41. Бинарное отношение f между множествами A и B называется функциональным отношением, если из (a,b)
Метод математической индукции.
На любое натуральное число можно смотреть с двух точек зрения. Например, 3-три (количество), 3-третий (порядок). В курсе алгебры изучают порядковую теорию натуральных чисел. На множестве ℕ вв
Свойства бинарных операций.
Определение 1. Бинарной алгебраической операцией на непустом множестве М называется закон или правило, по которому любым двум элементам множества М
Полугруппа с сокращением.
Определение 10. Непустое множество М с заданной на нем бинарной алгебраической операцией «∗» называется группоидом. Обозначается <M, ∗>.
За
Простейшие свойства групп.
Определение 14. Непустое множество G, замкнутое относительно бинарной алгебраической операции «∗» называется группой, если выполняются следующие аксиомы (аксиомы группы):
Подгруппа. Критерий подгруппы.
Определение 20. Непустое подмножество Н группы G называется подгруппой группы G, если Н является группой относительно той же операции, что и группа G, и об
Простейшие свойства колец.
Определение 27. Непустое множество K с определенными на нем бинарными алгебраическими операциями сложения и умножения называется кольцом, если выполняются следующие аксиомы (ак
Гомоморфизмы и изоморфизмы колец.
Определение 34. Непустое подмножество H кольца K называется подкольцом кольца K, если H является кольцом относительно тех же операций, что и кольцо K
Простейшие свойства полей.
Определение 36. Множество Р, содержащее не менее двух элементов, замкнутое относительно операций «+» и «⋅», называется полем, если выполняются условия:
1) Р
Изоморфизм полей.
Определение 37. Непустое подмножество Н поля Р, содержащее не менее двух элементов, называется подполем поля Р, если Н является полем относительно т
Поля комплексных чисел.
В поле ℝ уравнение вида x2+1=0 не имеет решений. Поэтому возникает необходимость построить поле, которое было бы рас
Комплексного числа.
Пусть z=(a, b)∈ℂ, причем (x, 0)=x для любого x∈ℝ. Получим для комплексного числа z=(a, b) другую форму
Комплексного числа.
Пусть z=a+bi - комплексное число, a, b∈ℝ. Изобразим число z точкой плоскости М(a, b).
В тригонометрической форме.
Теорема 4. При умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются.
Доказательство. Пусть z1
Формула Муавра.
Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел удобно производить в алгебраической форме. Однако, возведение в степень и извлечение корня степени n≥3
Формула Муавра.
Определение 11. Пусть n∈ℕ. Корнем n-й степени из комплексного числа z называется комплексное число z1 такое, что z1
Первообразные корни.
По теореме 7, корень n-ой степени из единицы имеет ровно n значений. Так как 1=1⋅(cos 0+isin 0), то ,
Кольцо многочленов от одной переменной.
Из школьного курса математики и из курса математического анализа известно, что многочлен есть целая рациональная функция вида f(x)=a0+a1x+a2
Над областью целостности.
Теорема 13. Если K – область целостности, то K[х] - область целостности.
Доказательство. Пусть K – область целостности. Покажем, что
Теорема Безу. Корни многочлена.
Определение 20. Пусть K - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Говорят, что многочлен делится на многочлен
Матрица ступенчатого вида.
Определение 10. Матрицей размера m×n над полем Р называется прямоугольная таблица, состоящая из n строк и m столбцов, следующего вида:
Метод последовательного исключения неизвестных
(метод Гаусса).
Рассмотрим один из основных методов решения систем линейных уравнений, который называется методом последовательного исключения неизвестных, или инач
И их основные свойства.
1. Сложение матриц.
Определение 16. Пусть A=(aij), B=(bij) - матрицы размера m×n над полем Р. Суммой
Матричные уравнения.
Определение 22. Матрица n-го порядка вида называется единичной матрицей.
Замечание 9. Если А –
Теорема о четности перестановки.
Определение 27. Пусть М={1,2,…,n}. Перестановкой на множестве М или перестановкой n-й степени называется множество М с заданным расположением его эл
Новости и инфо для студентов