Теорема 11. Пусть (1) - система n линейных уравнений с n неизвестными над полем P, А=- основная матрица системы (1), =. Если , то система (1) имеет единственное решение:, , …,, где - определитель, полученный из заменой i-го столбца на столбец свободных членов, i=, т.е.
=, … , =.
Доказательство. Пусть Х=, В=. Тогда система (1) равносильна матричному уравнению АХ=В (2).
Следовательно, чтобы решить систему (1), достаточно решить уравнение (2).
Так как 0, то по теореме 8 матрица А невырождена. Следовательно, согласно теореме 3, А – обратимая матрица, а, значит, А-1 и уравнение (2) имеет единственное решение X=A-1B
Теорема доказана.
Замечание 13. Если =0, то возможны 2 случая:
1. Если =0, i=, то система (1) имеет бесконечное число решений
2. Если , то система (1) не имеет решений.