Упорядоченное множество.

Определение 30. Бинарное отношение R на множестве А называется отношением порядка, если оно антисимметрично и транзитивно на А.

Определение 31. Бинарное отношение R на множестве А называется отношением предпорядка, если оно рефлексивно и транзитивно на А.

Определение 32. Отношение порядка R на множество А называется отношением строгого порядка, если оно антирефлексивно на А.

Определение 33. Отношение порядка R на множество А называется отношением нестрогого порядка, если оно рефлексивно на А.

Определение 34. Бинарное отношение R на множестве А называется связанным (связным), если " а, в Î А, ав выполняется одно и только одно из условий: либо (а,в) Î R, либо (в,а)Î R.

Определение 35. Отношение порядка на множество А называется отношением линейного порядка, если оно связанно. В противном случае отношение порядка называется отношением частичного порядка.

Определение 36. Непустое множество А с заданным на нем отношением порядка R называется упорядоченным множеством и обозначается (А,R).

Определение 37. Упорядоченное множество (А,R) называется линейно упорядоченным, если R - отношение линейного порядка. Если R - отношение частичного порядка, то упорядоченное множество (А,R) называется частично упорядоченным.

Определение 38. Пусть (А,R) - упорядоченное множество. Элемент аÎ А называется минимальным (максимальным) элементом, если " x Î А: из (х,а) Î R следует, что x=a (из (а,х)ÎR следует, что x=a).

Во множестве может быть несколько минимальных и максимальных элементов.

Определение 39. Пусть (А,R)- упорядоченное множество. Элемент аÎ А называется наименьшим (наибольшим) элементом, если "xÎА всегда (а,х)ÎR ( (х,а) Î R ).

Если во множестве есть наименьший элемент, то он единственен.

Определение 40. Линейное упорядоченное множество называется вполне упорядоченным, если любое его непустое подмножество содержит наименьший элемент.