Теорема об ассоциативности произведения функций.
Определение 50. Пусть f: X
Y, g: YZ - функции. Произведением функций f и g (композицией функций f и g, суперпозицией) называется отображение g
f: XZ заданное по правилу: 
x
X gf(x)=g(f(x))
Определение 51. Функции f и g называются равными, если их соответствующие области совпадают и f(x)=g(x) x∈X.
Теорема 4. Пусть f: XY, g: YZ, h: ZT – функции. Тогда h(gf)=(hg)f, то есть произведение функций ассоциативно.
Доказательство. Пусть f: XY, g: YZ, h: Z T – функции. Покажем, что h(gf)=(hg)f.
Так как gf : XZ и h : ZT, то h(gf) : XT. Далее, hg: YT и f : XY, то (hg)f : XT. Таким образом, соответствующие области функций h(gf) и (hg)f совпадают.
Кроме того, x0X : h(gf)(x0) = h(gf(x0)) = h(g(f(x0))) и ((hg)f)(x0) = (hg)(f(x0))=h(g(f(x0))) 
(h(gf))(x0)=((hg)f)(x0), x0X, то есть h(gf)=(hg)f.
Теорема доказана.
Замечание 9. Опираясь на понятие произведения двух отображений, можно определить композицию трех, четырех и более функций. Пусть, например, f1, f2,…, fn преобразования множества X. Их произведение 
определяют индуктивно: 
уже определено, 
и вообще, если 
и 
определено, то 
.
Следствие 4.1. 
.
Рассмотрим еще несколько важных свойств композиции отображений.
Теорема 5. Пусть f: XY, g: YZ – функции, h=gf. Тогда
1) если f и g инъективны, то и h инъективно;
2) если f и g сюръективны, то и h сюръективно;
3) если f и g биективны, то и h биективно.