Обратимое отображение.

Определение 52. Отображение называется тождественным (или единичным), если f(a)=a, и обозначается e_x.

Замечание 9. Пусть - функция, тогда f=f⋅ e_x и e_y⋅f=f.

Доказательство. .

Определение 53. Отображение называется обратимым, если существует отображение , такое, что fg=и gf=. В этом случае функция g называется обратной для функции f.

Замечание 10. Если в определении 53 выполняется 1-ое равенство, то функция g называется правой обратной функцией для f, а если 2-ое, то левой обратной функцией для f.

Лемма 2. Пусть , - функции. Если gf=, то f – инъективная функция, а g – сюрективная функция.

Доказательство. Пусть gf=. 1) Покажем что f - инъективная функция. Пусть f(x) = f(x). Покажем, что =. Действительно, =()=gf()=g(f())= g(f())=gf()=()=. Следовательно, функция f инъективна.

2) Покажем, что g - сюръективная функция.

g - сюръективная функция.