Интерполяционный многочлен

Под задачей интерполяции понимают задачу построения многочлена наименьшей степени, который в заданных точках принимает заданные значения.

2.6.1 Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа

Пусть требуется построить многочлен, который в точках a₁,…,a_n (n>1) принимает значения y₁,…,y_n. Положим w(x)=(x-a₁)…(x-a_n) и . Легко убедится в справедливости равенств w_i(a_j)=0 при и w_i(a_i)=1. Следовательно, многочлен f(x)=y₁w₁(x)+…+y_nw_n(x) принимает в точках a₁,…,a_n значения y₁,…,y_n.

Теорема 2.9 (Интерполяционный многочлен Лагранжа)

Существует единственный интерполяционный многочлен степени не превосходящий n-1, который принимает в точках a₁,…,a_n значения y₁,…,y_n..

Доказательство. Существование доказано выше. Покажем единственность. Допустим, кроме f(x) существует ещё интерполяционный многочлен h(x) степени не выше n-1. Разность многочленов f(x)-h(x) равна 0 в точках y₁,…,y_n., значит, по теореме Безу, она делится на w(x). Так как степень w(x) равна n, то f(x)-h(x)=0.

2.6.2 Интерполяционный многочлен в форме Ньютона

Пусть f(x) – произвольный многочлен. Под разностью первого порядка будем понимать . Индукцией определим разность порядка k .