Присоединение корня. Поле разложения многочлена. - раздел Математика, Числа. Метод математической индукции. Целые числа. Рациональные числа. Многочлены. Операции над многочленами. Корень многочлена Пусть F(X) - Неприводимый Многочлен Степени N Над Числовым Полем P, И Пусть ...
Пусть f(x) - неприводимый многочлен степени n над числовым полем P, и пусть корень этого многочлена в некотором числовом поле T (P содержится в T). Построим наименьшее поле, содержащее поле P и . Легко убедится, что числа вида , где принадлежат этому полю. Обозначим множество этих чисел .
Теорема 2.12 Множество является числовым полем.
Доказательство. Замкнутость относительно сложения, вычитания, умножения очевидна. Покажем замкнутость относительно деления. По числу построим многочлен из P(x). Наибольший общий делитель многочленов a(x) и f(x) равен 1 (в силу неприводимости f(x)), следовательно, найдутся многочлены u(x) и v(x) из P(x), что u(x)f(x)+v(x)a(x)=1. Подставим вместо x значение . Получим равенство . Поскольку , и , то теорема доказана.
В качестве можно брать любой корень многочлена f(x). В результате будут получаться различные поля .
Определение 2.3 Числовые поля называются изоморфными, если существует взаимно однозначное соответствие, сохраняющее операции +,*.
Следствие 2.5 Пусть f(x) - неприводимый многочлен над полем P, и a, b - его корни в некотором поле T. Тогда поле P(a) изоморфно полю P(b).
В приведённых выше построениях везде фигурировало поле T, которое содержало корень многочлена. Избавимся от этого поля. Это можно сделать следующим образом. Обозначим через P[x] множество остатков от деления многочленов из P(x) на неприводимый многочлен f(x) (над P). На этом множестве определим операции сложения и умножения. Сложение - обычное сложение многочленов, а в качестве результата умножения многочленов возьмём остаток от деления их произведения на f(x). В результате получим множество многочленов над которыми определены операции сложения и умножения, причём это множество изоморфно P(a), где a - корень f(x) в некотором поле T. При построении поля P[x] поле T никак не участвует.
Говорят, что поле P[x] получено присоединением корня f(x). При этом вопросом о существовании поля, в котором f(x) имеет корень, можно не задаваться. Следует отметить, что элемент x поля P[x] является корнем f(x).
Теорема 2.13 Пусть f(x) - многочлен над полем P. Тогда существует поле T (P содержится в T) над которым многочлен f(x) разлагается на линейные множители
Доказательство. Разлагаем f(x) на неприводимые множители. Если все множители линейны, то теорема доказана. В противном случае возьмём неприводимый многочлен степени больше 1 и присоединим его корень. Далее, повторим рассуждения. Процесс бесконечно продолжаться не может из-за конечности степени f(x).
Поле, над которым многочлен разлагается на линейные множители, называется полем разложения многочлена.
Числа Натуральные числа натуральное число Если n... Метод математической индукции... Тот факт что множество натуральных чисел может быть упорядочено по возрастанию часто используется при доказательстве...
Натуральные числа
Определение 1.1Определение натуральных чисел N
1 - натуральное число. Если n - натуральное число, то следующее за ним n+1 так же натуральное число. Если кодировать натуральное число количе
Бином Ньютона, треугольник Паскаля
Рассмотрим бином (a+b)n. Если раскрыть скобки, привести подобные, то получившиеся сумма состоит из слагаемых вида aibn-i с некоторыми числовым
Числовые кольца, поля
Множество чисел, замкнутых относительно операции +, *, и в котором разрешимо уравнение a+x=b называется числовым кольцом.
Любое числовое кольцо содержит 0.
Множество чётных чисел
Комплексная плоскость.
Комплексному числу c поставим в соответствие точку плоскости c координатами (Re(c),Im(c)). Это соответствие взаимно однозначное. Для вектора, соединяющего начало
Неприводимый многочлен, его свойства
Многочлен называется неприводимым над числовым полем, если он не делится на многочлены меньшей степени (исключая константы)
Теорема 2.7 Пусть многочлен f(x) неприводим. Тогда
Интерполяционный многочлен
Под задачей интерполяции понимают задачу построения многочлена наименьшей степени, который в заданных точках принимает заданные значения.
2.6.1 Интерполяционный многочлен в
Свойство 3
Если степень многочлена f(x) равна n, то разность порядка k есть многочлен степени n-k при n
Разложение многочлена над полем рациональных чисел
2.7.1 Примитивный многочлен, его свойства
Определение 2.2Многочлен над кольцом целых чисел называется примитивным, если наибольший общий делитель его коэф
Интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра
В ряде случаев необходимо найти многочлен наименьшей степени, у которого на некотором множестве заданы не только его значения, но и значения производных до определенных порядков. Пусть на множестве
Симметрические полиномы
Определение 2.4Многочленом от n переменных называется функция вида . Степенью многочлена называется максимальная суммарная степень по всем п
Основная теорема Алгебры
Лемма 2.5. Многочлен нечётной степени с вещественными коэффициентами имеет хотя бы один вещественный корень.
Доказательство. Не нарушая общности можно считать старший коэффициент мн
Метод Гаусса решения системы линейных уравнений
Ряд задач алгебры приводит к задаче построения решения системы линейных уравнений. Например, вычисление коэффициентов интерполяционного многочлена методом неопределённых коэффициентов. В общем виде
Равносильные преобразования
Обозначим через M множество решений системы линейных уравнений (элементами множества M являются n-элементные наборы, удовлетворяющие системе линейных уравнений). Преобразование системы линейных ура
Подстановки
Определение 4.1. Подстановкой n-го порядка называется взаимно однозначное отображение множества чисел от 1 до n на себя.
Подстановки можно записывать в виде таблицы, где под каждым числом
Четность подстановок
Дискриминантом называется многочлен от n переменных . Квадрат дискриминанта является симметрическим многочленом. Следовательно, при подстано
Свойства определителя
Разберем свойства определителей.
Замену строк матрицы на ее столбцы назовем операцией транспонирования и обозначим через .
Определитель Вандермонда
Пусть даны числа . Матрицей Вандермонда называется матрица, у которой на пересечении i-го столбца и j-ой строки расположен элемент, равный
Теорема Лапласа
Определение 5.2. Пусть и множества номеров строк и столбцов матрицы A, соответствен
Формула Бине-Кощи
Теорема 5.2 (Бине-Коши). . Пусть A матрица размерами m*n, а B матрица размерами n*m (n больше либо равно n). Справедливо равенство , где
Обратная матрица
Квадратная матрица n-го порядка, у которой по диагонали 1, а все остальные элементы 0, называется единичной и обозначается E.
Для любой матрицы A справедливы равенства AE=EA=A. Таким образ
Правило Крамера
Рассмотрим систему линейных уравнений Ax=b, где матрица A невырожденная. Умножим слева это равенство на обратную матрицу, придем к равенству
Матрица элементарных преобразований
Элементарные преобразования матрицы A, такие как подстановка строк; прибавление к одной строке другой строки, умноженной на число; умножение строки на число можно трактовать как умножение матрицы A
Построение обратной матрицы
Пусть A невырожденная матрица. Рассмотрим задачу построения обратной матрицы. Припишем справа к матрице A единичную матрицу. Элементарными преобразованиями строк добьемся, что бы на месте матрицы A
Блочные матрицы
Напомним, матрица – таблица чисел. Часто полезно рассматривать матрицу как таблицу, элементами которой являются не числа, а матрицы меньших порядков. При такой точке зрения говорят о блочном строен
Линейные пространства.
Определение 7.1Множество V называется линейным пространством над числовым полем P, если определены две операции
1. сложения элементов из V (+)
2. умножени
Изоморфизм линейных пространств.
Определение 7.13 Линейные пространства над числовым полем P называются изоморфными, если существует взаимно однозначное соответствие между векторами этих пространств, сохраняющее операции сложения
Ранги матрицы.
Для матрицы можно дать три определения ранга:
1. Столбцовый ранг - ранг системы столбцов.
2. Строчечный ранг - ранг системы строк.
3. Минорный ранг - Порядок наибольшего
Общее решение системы линейных уравнений.
Теорема 7.12. Размерность пространства решений однородной СЛУ равна
n-rgA.
Доказательство. Рассмотрим однородную систему линейных уравнений Ax=0. Множество решений системы
Двойственное пространство
Пусть V – линейное пространство над полем P. Линейной формой (функцией) над V называется функция, удовлетворяющая условиям
Взаимное расположение линейных многообразий в пространстве.
С помощью рангов соответствующих матриц можно определить взаимное расположение подпространств из некоторого пространства. При этом определённую пользу принесёт следующая теорема.
Теорема 7
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
корень этого многочлена в некотором числовом поле T (P содержится в T). Построим наименьшее поле, содержащее поле P и 
, где 
принадлежат этому полю. Обозначим множество этих чисел 
.
построим многочлен 
из P(x). Наибольший общий делитель многочленов a(x) и f(x) равен 1 (в силу неприводимости f(x)), следовательно, найдутся многочлены u(x) и v(x) из P(x), что u(x)f(x)+v(x)a(x)=1. Подставим вместо x значение 
. Поскольку 
, 
и 
, то теорема доказана.
Новости и инфо для студентов