Многочлен f(x+y)-f(x) делится на y без остатка (проверить по теореме Безу). Положим . Многочлен F(x,0) называют производной многочлена f(x) и обозначают .
Теорема 2.14 (Свойства производной)
1.
2.
3.
Доказательство следует из определения производной.
Говорят, что кратность корня a многочлена f(x) равна k, если f(x) делится на и не делится (без остатка) на .
Теорема 2.15 (Кратность корня)
Если a корень многочлена f(x) кратности k, то a корень его производной кратности k-1.
Доказательство. Пусть a корень кратности k многочлена f(x). Тогда f(x) представим в виде произведения , причём . Производная от f(x) равна , где . Поскольку , то теорема доказана.
Следствие 2.6 Многочлен не имеет кратных множителей.
Доказательство. Перейдём к полю разложения f(x). Многочлен над этим полем имеет те же самые корни, что и f(x), только кратности 1. Вернёмся в исходное поле P. Многочлен разлагается на те же неприводимые множители что и f(x), только кратности 1.
2.9.1 Производные высоких порядков
Производную порядка k от многочлена f(x) обозначим . При k=0 под будем понимать исходный многочлен.
Лемма 2.1
.
Доказательство проведём индукцией по j. При j=1 получаем формулу дифференцирования произведения. Пусть формула верна для j-1. Покажем её справедливость для j. Имеют место равенства. Взяв производную от каждого слагаемого, приведя подобные, получим требуемое равенство.
Следствие 2.7 Условие при i=0,…,k-1 и равносильно тому, что - корень f(x) кратности k.
Доказательство. Пусть - корень f(x) кратности k, тогда , причём . Производная порядка i равна . Подставив получим равенства при i=0,…,k-1 и . Обратно, разложим f(x) по степеням , т.е. . Легко проверить и значит - корень f(x) кратности k.