Симметрические полиномы - раздел Математика, Числа. Метод математической индукции. Целые числа. Рациональные числа. Многочлены. Операции над многочленами. Корень многочлена Определение 2.4Многочленом От N Переменных Называется Функция Вида ...
Определение 2.4Многочленом от n переменных называется функция вида . Степенью многочлена называется максимальная суммарная степень по всем переменным. Слагаемое вида называется мономом.
Многочлен от n переменных может содержать несколько мономов максимальной степени. Моном максимальной степени назовём старшим, если набор его степеней лексикографически максимален. Обозначим через v(f) набор степеней максимального монома. Имеет место
Лемма 2.2 v(fg)=v(f)+v(g),
Доказательство вытекает из определения.
Определение 2.5Многочлен от нескольких переменных называется симметрическим, если он не меняется при любой перестановке переменных.
Определение 2.6Многочлены , где i=1,…,n называются элементарными симметрическими многочленами.
Коэффициенты многочлена с точностью до знака суть значения элементарных симметрических многочленов от его корней.
Заметим .
Лемма 2.3 Пусть f - симметрический многочлен и , тогда .
Доказательство. Если найдётся i, при котором , то переставим и . В результате получим более старший моном.
Лемма 2.4 Пусть - набор целых неотрицательных чисел. Тогда .
Доказательство проводится непосредственно проверкой.
Любой симметрический многочлен единственным образом представляется в виде полинома от элементарных симметрических многочленов.
Доказательство. Пусть - симметрический многочлен и . Обозначим через коэффициент при старшем мономе f и положим . Многочлен g симметрический и v(g) лексикографически меньше v(f). Следовательно, через конечное число шагов он станет равный нулю и f выразится в виде полинома от элементарных симметрических многочленов.
Допустим, существуют два разных представления . Разность f-g - не нулевой многочлен от элементарных симметрических многочленов, но при выражении элементарных симметрических многочленов через переменные он должен обратиться в 0.
Выделим член , у которого величина максимальная. Если таких членов несколько, то из них выберем такое, на котором набор лексикографически максимален. Набор, отвечающий данным условиям единственен. При подстановке переменных вместо элементарных симметрических полиномов именно этот набор даст старший моном. Причём это моном входит только в единственное слагаемое. Следовательно, найдётся моном с отличным от нуля коэффициентом, что противоречит равенству f-g=0.
2.12.1 Формулы Кардано
Обозначим корни кубического уравнения через . Положим и , . Легко проверить, что и , - симметрические многочлены от . По основной теореме алгебры симметрических многочленов их можно выразить через элементарные симметрические многочлены, значения которых, по формулам Виета, совпадают с точностью до знака с коэффициентами исходного многочлена. Проведя несложные вычисления, получим и . По формулам Виета - корни квадратного уравнения и могут быть вычислены по формулам . Таким образом справедливы уравнения , , . Из этой системы находим корни исходного уравнения.
2.12.2 Способ Феррари
Обозначим корни уравнения через . Положим , , . Легко проверить, что перестановка переменных приводит лишь к некоторой перестановке и поэтому, элементарные симметрические многочлены от являются симметрическими многочленами от . Следовательно, можно написать уравнение третей степени, коэффициенты которого суть многочлены от коэффициентов исходного многочлена, корнями которого являются . Кубическое уравнение называют кубической резольвентой. После нахождения корней , из уравнения ( к нему сводится решение системы , ) находим , из уравнения - , и из уравнения - . Выразив все корни через и подставив выражения в уравнение найдём все корни исходного уравнения.
2.12.3 Дискриминант
Дискриминантом называется многочлен от n переменных . Квадрат дискриминанта является симметрическим многочленом.
Числа Натуральные числа натуральное число Если n... Метод математической индукции... Тот факт что множество натуральных чисел может быть упорядочено по возрастанию часто используется при доказательстве...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Симметрические полиномы
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Натуральные числа
Определение 1.1Определение натуральных чисел N
1 - натуральное число. Если n - натуральное число, то следующее за ним n+1 так же натуральное число. Если кодировать натуральное число количе
Бином Ньютона, треугольник Паскаля
Рассмотрим бином (a+b)n. Если раскрыть скобки, привести подобные, то получившиеся сумма состоит из слагаемых вида aibn-i с некоторыми числовым
Числовые кольца, поля
Множество чисел, замкнутых относительно операции +, *, и в котором разрешимо уравнение a+x=b называется числовым кольцом.
Любое числовое кольцо содержит 0.
Множество чётных чисел
Комплексная плоскость.
Комплексному числу c поставим в соответствие точку плоскости c координатами (Re(c),Im(c)). Это соответствие взаимно однозначное. Для вектора, соединяющего начало
Неприводимый многочлен, его свойства
Многочлен называется неприводимым над числовым полем, если он не делится на многочлены меньшей степени (исключая константы)
Теорема 2.7 Пусть многочлен f(x) неприводим. Тогда
Интерполяционный многочлен
Под задачей интерполяции понимают задачу построения многочлена наименьшей степени, который в заданных точках принимает заданные значения.
2.6.1 Интерполяционный многочлен в
Свойство 3
Если степень многочлена f(x) равна n, то разность порядка k есть многочлен степени n-k при n
Разложение многочлена над полем рациональных чисел
2.7.1 Примитивный многочлен, его свойства
Определение 2.2Многочлен над кольцом целых чисел называется примитивным, если наибольший общий делитель его коэф
Интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра
В ряде случаев необходимо найти многочлен наименьшей степени, у которого на некотором множестве заданы не только его значения, но и значения производных до определенных порядков. Пусть на множестве
Основная теорема Алгебры
Лемма 2.5. Многочлен нечётной степени с вещественными коэффициентами имеет хотя бы один вещественный корень.
Доказательство. Не нарушая общности можно считать старший коэффициент мн
Метод Гаусса решения системы линейных уравнений
Ряд задач алгебры приводит к задаче построения решения системы линейных уравнений. Например, вычисление коэффициентов интерполяционного многочлена методом неопределённых коэффициентов. В общем виде
Равносильные преобразования
Обозначим через M множество решений системы линейных уравнений (элементами множества M являются n-элементные наборы, удовлетворяющие системе линейных уравнений). Преобразование системы линейных ура
Подстановки
Определение 4.1. Подстановкой n-го порядка называется взаимно однозначное отображение множества чисел от 1 до n на себя.
Подстановки можно записывать в виде таблицы, где под каждым числом
Четность подстановок
Дискриминантом называется многочлен от n переменных . Квадрат дискриминанта является симметрическим многочленом. Следовательно, при подстано
Свойства определителя
Разберем свойства определителей.
Замену строк матрицы на ее столбцы назовем операцией транспонирования и обозначим через .
Определитель Вандермонда
Пусть даны числа . Матрицей Вандермонда называется матрица, у которой на пересечении i-го столбца и j-ой строки расположен элемент, равный
Теорема Лапласа
Определение 5.2. Пусть и множества номеров строк и столбцов матрицы A, соответствен
Формула Бине-Кощи
Теорема 5.2 (Бине-Коши). . Пусть A матрица размерами m*n, а B матрица размерами n*m (n больше либо равно n). Справедливо равенство , где
Обратная матрица
Квадратная матрица n-го порядка, у которой по диагонали 1, а все остальные элементы 0, называется единичной и обозначается E.
Для любой матрицы A справедливы равенства AE=EA=A. Таким образ
Правило Крамера
Рассмотрим систему линейных уравнений Ax=b, где матрица A невырожденная. Умножим слева это равенство на обратную матрицу, придем к равенству
Матрица элементарных преобразований
Элементарные преобразования матрицы A, такие как подстановка строк; прибавление к одной строке другой строки, умноженной на число; умножение строки на число можно трактовать как умножение матрицы A
Построение обратной матрицы
Пусть A невырожденная матрица. Рассмотрим задачу построения обратной матрицы. Припишем справа к матрице A единичную матрицу. Элементарными преобразованиями строк добьемся, что бы на месте матрицы A
Блочные матрицы
Напомним, матрица – таблица чисел. Часто полезно рассматривать матрицу как таблицу, элементами которой являются не числа, а матрицы меньших порядков. При такой точке зрения говорят о блочном строен
Линейные пространства.
Определение 7.1Множество V называется линейным пространством над числовым полем P, если определены две операции
1. сложения элементов из V (+)
2. умножени
Изоморфизм линейных пространств.
Определение 7.13 Линейные пространства над числовым полем P называются изоморфными, если существует взаимно однозначное соответствие между векторами этих пространств, сохраняющее операции сложения
Ранги матрицы.
Для матрицы можно дать три определения ранга:
1. Столбцовый ранг - ранг системы столбцов.
2. Строчечный ранг - ранг системы строк.
3. Минорный ранг - Порядок наибольшего
Общее решение системы линейных уравнений.
Теорема 7.12. Размерность пространства решений однородной СЛУ равна
n-rgA.
Доказательство. Рассмотрим однородную систему линейных уравнений Ax=0. Множество решений системы
Двойственное пространство
Пусть V – линейное пространство над полем P. Линейной формой (функцией) над V называется функция, удовлетворяющая условиям
Взаимное расположение линейных многообразий в пространстве.
С помощью рангов соответствующих матриц можно определить взаимное расположение подпространств из некоторого пространства. При этом определённую пользу принесёт следующая теорема.
Теорема 7
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
. Степенью многочлена называется максимальная суммарная степень по всем переменным. Слагаемое вида 
называется мономом.
лексикографически максимален. Обозначим через v(f) набор степеней максимального монома. Имеет место
, где i=1,…,n называются элементарными симметрическими многочленами.
.
, тогда 
.
, то переставим 
и 
. В результате получим более старший моном.
.
- симметрический многочлен и 
коэффициент при старшем мономе f и положим 
. Многочлен g симметрический и v(g) лексикографически меньше v(f). Следовательно, через конечное число шагов он станет равный нулю и f выразится в виде полинома от элементарных симметрических многочленов.
. Разность f-g - не нулевой многочлен от элементарных симметрических многочленов, но при выражении элементарных симметрических многочленов через переменные он должен обратиться в 0.
, у которого величина 
максимальная. Если таких членов несколько, то из них выберем такое, на котором набор 
лексикографически максимален. Набор, отвечающий данным условиям единственен. При подстановке переменных вместо элементарных симметрических полиномов именно этот набор даст старший моном. Причём это моном входит только в единственное слагаемое. Следовательно, найдётся моном с отличным от нуля коэффициентом, что противоречит равенству f-g=0.
через 
. Положим 
и 
, 
. Легко проверить, что 
и 
, 
- симметрические многочлены от 
и 
. По формулам Виета 
- корни квадратного уравнения 
и могут быть вычислены по формулам 
. Таким образом справедливы уравнения 
, 
, 
. Из этой системы находим корни исходного уравнения.
через 
. Положим 
, 
, 
. Легко проверить, что перестановка переменных 
и поэтому, элементарные симметрические многочлены от 
( к нему сводится решение системы 
) находим 
, из уравнения 
- 
, и из уравнения 
- 
. Выразив все корни через 
и подставив выражения в уравнение 
найдём все корни исходного уравнения.
. Квадрат дискриминанта является симметрическим многочленом.
Новости и инфо для студентов