Элементарные преобразования матрицы A, такие как подстановка строк; прибавление к одной строке другой строки, умноженной на число; умножение строки на число можно трактовать как умножение матрицы A слева на некоторую матрицу, соответствующую элементарному преобразованию. Выпишем некоторые такие матрицы с описанием элементарных преобразований.
1. Подстановка строк i и j эквивалентна умножению слева на матрицу, которая получается из единичной матрицы подстановкой i и j строк.
2. Умножение строки i на число a эквивалентно умножению слева на матрицу, отличающейся от единичной только одним элементом, стоящим на пересечении i строки и столбца и равного a.
3. Прибавление к i-ой строке j-ой, умноженной на число a равно сильно умножению слева матрицу, отличающейся от единичной только элементом, стоящим на пересечении i-ой строки и j-го столбца и равного a.
Аналогично, преобразования над столбцами матрицы эквивалентны умножению справа на матрицы элементарных преобразований.