рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Линейная зависимость. Теорема о замене. Ранг системы

Линейная зависимость. Теорема о замене. Ранг системы - раздел Математика, Числа. Метод математической индукции. Целые числа. Рациональные числа. Многочлены. Операции над многочленами. Корень многочлена Определение 7.4. Система Векторов ...

Определение 7.4. Система векторов называется линейно зависимой, если существуют числа не все равные 0, что , и линейно независимой в противном случае.

Следствие 7.4 Если система содержит нулевой вектор, то она линейно зависима.

Следствие 7.5 Если система содержит линейно зависимую подсистему векторов, то она линейно зависима. Любая подсистема линейно независимой системы – линейно независима.

Определение 7.5 Будем говорить, что вектор b линейно выражается через систему векторов , если найдутся числа , что .

Свойство 7.1. Система векторов линейно независима тогда и только тогда, когда она не содержит нулевого вектора и ни один вектор системы линейно не выражается через предыдущие.

Доказательство. Пусть система линейно независима. Тогда она не содержит нулевых векторов (Следствие 7.4). Допустим, что какой то вектор системы, например , линейно выражается через предыдущие векторы. Значит, найдутся числа , что . Перенесём всё в левую часть, получим . Из последнего равенства вытекает линейная зависимость подсистемы , и следовательно, линейная зависимость системы (Следствие 7.5), что противоречит условию. К противоречию привело допущение о выразимости вектора . Следовательно, ни один вектор системы линейно не выражается через предыдущие векторы.

Пусть система векторов не содержит нулевых векторов и ни один вектор системы линейно не выражается через предыдущие векторы. Допустим, система линейно зависима. Тогда найдутся числа не все равные нулю, что . Обозначим через k наибольший номер, при котором . Номер k больше 1, так как иначе . Выразим из равенства вектор , , т.е. вектор линейно выражается через предыдущие векторы, что противоречит условию. Следовательно, допущение о линейной зависимости системы векторов не верно.

Лемма 7.1. Пусть вектор b линейно выражается через систему векторов , тогда .

Доказательство. Пусть и , т.е. . Тем самым установлено включение . Поскольку обратное включение, очевидно, то лемма доказана.

Лемма 7.2. Пусть и , тогда

Доказательство. Имеет место равенство (Лемма 7.1). Выразим . Тогда справедливо равенство (Лемма 7.1). Приравняв левые части равенств, получим требуемое утверждение.

Теорема 7.2 (о замене). Пусть система векторов линейно независима и каждый вектор этой системы линейно выражается через векторы , тогда .

Доказательство. Поскольку , то найдутся коэффициенты, что . Все коэффициенты не могут одновременно обращаться в ноль (иначе линейно независимая система содержит нулевой вектор). Не нарушая общности можно считать, что (иначе перенумеруем векторы). Имеет место равенство (Лемма 7.2). Далее, и, значит, . Все коэффициенты одновременно в ноль не обращаются (в силу линейной независимости системы векторов ). Не нарушая общности можно считать, что . Следовательно, имеет место равенство . Допустим, что уже показано равенство (s<n, s<k). Поскольку , то . Все коэффициенты одновременно в ноль не обращаются (в силу линейной независимости системы векторов ). Не нарушая общности можно считать, что . Следовательно, имеет место равенство . Процесс не может остановиться из-за нехватки векторов , поскольку это противоречит линейной независимости . Следовательно, процесс остановится после того, как все векторы войдут в систему и, значит, .

Следствие 7.6. Пусть системы векторов и линейно не зависимы, и линейно выражаются друг через друга, тогда k=n.

Доказательство. По теореме о замене выполняются неравенства и . Следовательно, k=n.

Определение 7.6. Максимальная (по числу векторов) линейно независимая подсистема системы векторов называется базой.

Пусть - база системы векторов. Добавление любого вектора f из системы к базе сделает её линейно зависимой системой (Определение 7.6). Следовательно, найдутся коэффициенты не все равные нулю, что . Коэффициент отличен от нуля, так как иначе система будет линейно зависимой. Из равенства можно выразить вектор . Тем самым установлено, что любой вектор системы линейно выражается через векторы базы, и, значит, линейная оболочка векторов базы совпадает с линейной оболочкой всей системы векторов (Лемма 7.1). Поскольку рассуждения верны для любой базы, то для любых двух баз выполняются условия Следствие 7.6, и, значит, количество векторов в базе не зависит от выбора базы.

Определение 7.7. Число векторов в базе называется рангом системы.

В ряде случаев удобно пользоваться эквивалентным определением базы.

Определение 7.8. Подсистема векторов называется полной, если её линейная оболочка совпадает с линейной оболочкой всех векторов системы. Минимальная (по количеству векторов) полная подсистема системы векторов называется базой.

Свойство 7.2. Определение 7.6 и Определение 7.8 базы эквивалентны.

Доказательство следует из определений и Лемма 7.1.

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Числа. Метод математической индукции. Целые числа. Рациональные числа. Многочлены. Операции над многочленами. Корень многочлена

Числа Натуральные числа натуральное число Если n.. Метод математической индукции.. Тот факт что множество натуральных чисел может быть упорядочено по возрастанию часто используется при доказательстве..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Линейная зависимость. Теорема о замене. Ранг системы

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Натуральные числа
Определение 1.1Определение натуральных чисел N 1 - натуральное число. Если n - натуральное число, то следующее за ним n+1 так же натуральное число. Если кодировать натуральное число количе

Бином Ньютона, треугольник Паскаля
Рассмотрим бином (a+b)n. Если раскрыть скобки, привести подобные, то получившиеся сумма состоит из слагаемых вида aibn-i с некоторыми числовым

Числовые кольца, поля
Множество чисел, замкнутых относительно операции +, *, и в котором разрешимо уравнение a+x=b называется числовым кольцом. Любое числовое кольцо содержит 0. Множество чётных чисел

Поле комплексных чисел
Положим . Числа вида , где

Комплексная плоскость
Комплексному числу c поставим в соответствие точку плоскости c координатами (Re(c),Im(c)). Это соответствие взаимно однозначное. Для вектора, соединяющего начало

Извлечение корней, корни из единицы
Из комплексного числа существует ровно n корней степени n. Справедливо . Если

Вычисление формул специального вида
1.7.3.1 Вычисление формул вида Введём комплексное число

Делимость многочленов. Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида. Расширенный алгоритм Евклида
Рассматриваются многочлены над числовым полем. Говорят, что многочлен f(x) делится на многочлен g(x), если остаток от деления равен нолю. Для пары многочленов

Неприводимый многочлен, его свойства
Многочлен называется неприводимым над числовым полем, если он не делится на многочлены меньшей степени (исключая константы) Теорема 2.7 Пусть многочлен f(x) неприводим. Тогда

Интерполяционный многочлен
Под задачей интерполяции понимают задачу построения многочлена наименьшей степени, который в заданных точках принимает заданные значения. 2.6.1 Интерполяционный многочлен в

Свойство 3
Если степень многочлена f(x) равна n, то разность порядка k есть многочлен степени n-k при n

Разложение многочлена над полем рациональных чисел
2.7.1 Примитивный многочлен, его свойства Определение 2.2Многочлен над кольцом целых чисел называется примитивным, если наибольший общий делитель его коэф

Присоединение корня. Поле разложения многочлена
Пусть f(x) - неприводимый многочлен степени n над числовым полем P, и пусть корень этого многочлена в некотором числовом поле T (P содержитс

Формальная производная, ее свойства
Многочлен f(x+y)-f(x) делится на y без остатка (проверить по теореме Безу). Положим . Многочлен F(

Интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра
В ряде случаев необходимо найти многочлен наименьшей степени, у которого на некотором множестве заданы не только его значения, но и значения производных до определенных порядков. Пусть на множестве

Симметрические полиномы
Определение 2.4Многочленом от n переменных называется функция вида . Степенью многочлена называется максимальная суммарная степень по всем п

Основная теорема Алгебры
Лемма 2.5. Многочлен нечётной степени с вещественными коэффициентами имеет хотя бы один вещественный корень. Доказательство. Не нарушая общности можно считать старший коэффициент мн

Последний многочлен не имеет вещественных корней
IV. Если в окрестностях корня a многочлена сам многочлен возрастает, то , а

Метод Гаусса решения системы линейных уравнений
Ряд задач алгебры приводит к задаче построения решения системы линейных уравнений. Например, вычисление коэффициентов интерполяционного многочлена методом неопределённых коэффициентов. В общем виде

Равносильные преобразования
Обозначим через M множество решений системы линейных уравнений (элементами множества M являются n-элементные наборы, удовлетворяющие системе линейных уравнений). Преобразование системы линейных ура

Подстановки
Определение 4.1. Подстановкой n-го порядка называется взаимно однозначное отображение множества чисел от 1 до n на себя. Подстановки можно записывать в виде таблицы, где под каждым числом

Четность подстановок
Дискриминантом называется многочлен от n переменных . Квадрат дискриминанта является симметрическим многочленом. Следовательно, при подстано

Свойства определителя
Разберем свойства определителей. Замену строк матрицы на ее столбцы назовем операцией транспонирования и обозначим через .

Определитель Вандермонда
Пусть даны числа . Матрицей Вандермонда называется матрица, у которой на пересечении i-го столбца и j-ой строки расположен элемент, равный

Теорема Лапласа
Определение 5.2. Пусть и множества номеров строк и столбцов матрицы A, соответствен

Формула Бине-Кощи
Теорема 5.2 (Бине-Коши). . Пусть A матрица размерами m*n, а B матрица размерами n*m (n больше либо равно n). Справедливо равенство , где

Обратная матрица
Квадратная матрица n-го порядка, у которой по диагонали 1, а все остальные элементы 0, называется единичной и обозначается E. Для любой матрицы A справедливы равенства AE=EA=A. Таким образ

Правило Крамера
Рассмотрим систему линейных уравнений Ax=b, где матрица A невырожденная. Умножим слева это равенство на обратную матрицу, придем к равенству

Матрица элементарных преобразований
Элементарные преобразования матрицы A, такие как подстановка строк; прибавление к одной строке другой строки, умноженной на число; умножение строки на число можно трактовать как умножение матрицы A

Построение обратной матрицы
Пусть A невырожденная матрица. Рассмотрим задачу построения обратной матрицы. Припишем справа к матрице A единичную матрицу. Элементарными преобразованиями строк добьемся, что бы на месте матрицы A

Блочные матрицы
Напомним, матрица – таблица чисел. Часто полезно рассматривать матрицу как таблицу, элементами которой являются не числа, а матрицы меньших порядков. При такой точке зрения говорят о блочном строен

Линейные пространства
Определение 7.1Множество V называется линейным пространством над числовым полем P, если определены две операции 1. сложения элементов из V (+) 2. умножени

Конечномерные пространства. Базис. Размерность. Дополнение до базиса. Базис суммы, пересечения
Определение 7.9. Пространство называется конечномерным, если оно является линейной оболочкой конечной системы векторов. Теорема 7.3. Подпространство конечномерного пространства – конечноме

Прямая сумма подпространств. Проекция
Определение 7.12 Сумма подпространств и называется прямой, если

Изменение координат вектора при изменении базиса
Пусть в пространстве V заданы два базиса: и . Координаты вектора x в этих базисах

Изоморфизм линейных пространств
Определение 7.13 Линейные пространства над числовым полем P называются изоморфными, если существует взаимно однозначное соответствие между векторами этих пространств, сохраняющее операции сложения

Ранги матрицы
Для матрицы можно дать три определения ранга: 1. Столбцовый ранг - ранг системы столбцов. 2. Строчечный ранг - ранг системы строк. 3. Минорный ранг - Порядок наибольшего

Общее решение системы линейных уравнений
Теорема 7.12. Размерность пространства решений однородной СЛУ равна n-rgA. Доказательство. Рассмотрим однородную систему линейных уравнений Ax=0. Множество решений системы

Двойственное пространство
Пусть V – линейное пространство над полем P. Линейной формой (функцией) над V называется функция, удовлетворяющая условиям

Взаимное расположение линейных многообразий в пространстве
С помощью рангов соответствующих матриц можно определить взаимное расположение подпространств из некоторого пространства. При этом определённую пользу принесёт следующая теорема. Теорема 7

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги