Конечномерные пространства. Базис. Размерность. Дополнение до базиса. Базис суммы, пересечения.
Конечномерные пространства. Базис. Размерность. Дополнение до базиса. Базис суммы, пересечения. - раздел Математика, Числа. Метод математической индукции. Целые числа. Рациональные числа. Многочлены. Операции над многочленами. Корень многочлена Определение 7.9. Пространство Называется Конечномерным, Если Оно Является Лин...
Определение 7.9. Пространство называется конечномерным, если оно является линейной оболочкой конечной системы векторов.
Теорема 7.3. Подпространство конечномерного пространства – конечномерно.
Доказательство. Пусть V – конечномерное пространство, W – его подпространство. По определению, V представляется в виде линейной оболочки конечной системы векторов . Проведём доказательство теоремы индукцией по n. При n=1 утверждение очевидно, так как любое подпространство, содержащее не нулевой вектор, в этом случае, совпадает с V. Пусть утверждение доказано для n-1. Покажем его справедливость для n. Возьмём не нулевой вектор и запишем его в виде линейной комбинации . Не нарушая общности можно считать (иначе перенумеруем векторы ). Множество векторов образует подпространство в линейной оболочке и по предположению индукции это подпространство конечномерно. Пусть линейная оболочка векторов совпадает с . Поскольку векторы принадлежат W, то включение очевидно. Пусть - произвольный вектор W. Вектор принадлежит подпространству и , а значит, и их пересечению. Представим вектор в виде линейной комбинации векторов и выразим d () . Таким образом, установлено включение , из которого, в силу произвольности выбора d, выводим равенство , т.е. W - конечномерное подпространство.
Пусть V конечномерное пространство.
Определение 7.10. Минимальная полная система векторов из V называется базисом пространства. Число векторов в базисе называется размерностью пространства.
Размерность пространства V обозначают dimV.
Следствие 7.7 Размерность подпространства не превосходит размерности всего пространства. Если размерность подпространства совпадает с размерностью пространства, то подпространство совпадает с пространством.
Доказательство. Пусть W – подпространство конечномерного пространства V. Обозначим через базис V. Подпространство W - конечно мерно (Теорема 7.3) и, значит, имеет базис . По теореме о замене выполняется неравенство . В случае равенства из доказательства теоремы о замене вытекает совпадение линейных оболочек .
Определение 7.11. Коэффициенты разложения вектора по базису называются координатами.
Теорема 7.4. Координаты любого вектора существуют и единственны.
Доказательство. Поскольку базис полная система, то любой вектор пространства разложим по базису. Допустим вектор x имеет два различных разложения по базису и . Вычтем одно из другого, получим равенство . В силу линейной независимости базисных векторов, все коэффициенты при базисных векторах равны нулю, а, значит разложения совпадают.
Координаты вектора в базисе обозначим через .
Следствие 7.8. Справедливы равенства , , .
Доказательство очевидно.
Теорема 7.5. (дополнение до базиса)
Базис подпространства конечномерного пространства можно дополнить до базиса всего пространства..
Доказательство. Пусть W подпространство V. Обозначим через базис W а через - базис V. В системе удалим векторы, которые линейно выражаются через предыдущие вектора системы. Получившаяся система будет являться базой, а значит образует базис в пространстве V. Кроме того, векторы линейно независимы, и не могут линейно выражаться через предыдущие вектора системы, и значит, они содержатся в базисе. Фактически получается, что система векторов дополнилась некоторыми векторами из базиса V до базиса всего пространства.
Доказательство. Обозначим через базис пространства . Дополним его до базиса пространства V векторами (т.е. - базис V) и до базиса W - векторами (т.е. - базис W). Легко убедиться, что совпадает с линейной оболочкой векторов . Далее, система векторов линейно независима. Действительно, если не так, то линейная комбинация этих векторов с не нулевыми коэффициентами равна нулю. Пусть . Из равенства выводим, что вектор y принадлежит V и W. Раз вектор y принадлежит пересечению , то все (в силу единственности координат), что противоречит линейной независимости системы . Таким образом, система векторов образует базис . Далее, имеем , , и . Для завершения доказательства осталось убедиться в справедливости равенства .
Числа Натуральные числа натуральное число Если n... Метод математической индукции... Тот факт что множество натуральных чисел может быть упорядочено по возрастанию часто используется при доказательстве...
Натуральные числа
Определение 1.1Определение натуральных чисел N
1 - натуральное число. Если n - натуральное число, то следующее за ним n+1 так же натуральное число. Если кодировать натуральное число количе
Бином Ньютона, треугольник Паскаля
Рассмотрим бином (a+b)n. Если раскрыть скобки, привести подобные, то получившиеся сумма состоит из слагаемых вида aibn-i с некоторыми числовым
Числовые кольца, поля
Множество чисел, замкнутых относительно операции +, *, и в котором разрешимо уравнение a+x=b называется числовым кольцом.
Любое числовое кольцо содержит 0.
Множество чётных чисел
Комплексная плоскость.
Комплексному числу c поставим в соответствие точку плоскости c координатами (Re(c),Im(c)). Это соответствие взаимно однозначное. Для вектора, соединяющего начало
Неприводимый многочлен, его свойства
Многочлен называется неприводимым над числовым полем, если он не делится на многочлены меньшей степени (исключая константы)
Теорема 2.7 Пусть многочлен f(x) неприводим. Тогда
Интерполяционный многочлен
Под задачей интерполяции понимают задачу построения многочлена наименьшей степени, который в заданных точках принимает заданные значения.
2.6.1 Интерполяционный многочлен в
Свойство 3
Если степень многочлена f(x) равна n, то разность порядка k есть многочлен степени n-k при n
Разложение многочлена над полем рациональных чисел
2.7.1 Примитивный многочлен, его свойства
Определение 2.2Многочлен над кольцом целых чисел называется примитивным, если наибольший общий делитель его коэф
Интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра
В ряде случаев необходимо найти многочлен наименьшей степени, у которого на некотором множестве заданы не только его значения, но и значения производных до определенных порядков. Пусть на множестве
Симметрические полиномы
Определение 2.4Многочленом от n переменных называется функция вида . Степенью многочлена называется максимальная суммарная степень по всем п
Основная теорема Алгебры
Лемма 2.5. Многочлен нечётной степени с вещественными коэффициентами имеет хотя бы один вещественный корень.
Доказательство. Не нарушая общности можно считать старший коэффициент мн
Метод Гаусса решения системы линейных уравнений
Ряд задач алгебры приводит к задаче построения решения системы линейных уравнений. Например, вычисление коэффициентов интерполяционного многочлена методом неопределённых коэффициентов. В общем виде
Равносильные преобразования
Обозначим через M множество решений системы линейных уравнений (элементами множества M являются n-элементные наборы, удовлетворяющие системе линейных уравнений). Преобразование системы линейных ура
Подстановки
Определение 4.1. Подстановкой n-го порядка называется взаимно однозначное отображение множества чисел от 1 до n на себя.
Подстановки можно записывать в виде таблицы, где под каждым числом
Четность подстановок
Дискриминантом называется многочлен от n переменных . Квадрат дискриминанта является симметрическим многочленом. Следовательно, при подстано
Свойства определителя
Разберем свойства определителей.
Замену строк матрицы на ее столбцы назовем операцией транспонирования и обозначим через .
Определитель Вандермонда
Пусть даны числа . Матрицей Вандермонда называется матрица, у которой на пересечении i-го столбца и j-ой строки расположен элемент, равный
Теорема Лапласа
Определение 5.2. Пусть и множества номеров строк и столбцов матрицы A, соответствен
Формула Бине-Кощи
Теорема 5.2 (Бине-Коши). . Пусть A матрица размерами m*n, а B матрица размерами n*m (n больше либо равно n). Справедливо равенство , где
Обратная матрица
Квадратная матрица n-го порядка, у которой по диагонали 1, а все остальные элементы 0, называется единичной и обозначается E.
Для любой матрицы A справедливы равенства AE=EA=A. Таким образ
Правило Крамера
Рассмотрим систему линейных уравнений Ax=b, где матрица A невырожденная. Умножим слева это равенство на обратную матрицу, придем к равенству
Матрица элементарных преобразований
Элементарные преобразования матрицы A, такие как подстановка строк; прибавление к одной строке другой строки, умноженной на число; умножение строки на число можно трактовать как умножение матрицы A
Построение обратной матрицы
Пусть A невырожденная матрица. Рассмотрим задачу построения обратной матрицы. Припишем справа к матрице A единичную матрицу. Элементарными преобразованиями строк добьемся, что бы на месте матрицы A
Блочные матрицы
Напомним, матрица – таблица чисел. Часто полезно рассматривать матрицу как таблицу, элементами которой являются не числа, а матрицы меньших порядков. При такой точке зрения говорят о блочном строен
Линейные пространства.
Определение 7.1Множество V называется линейным пространством над числовым полем P, если определены две операции
1. сложения элементов из V (+)
2. умножени
Изоморфизм линейных пространств.
Определение 7.13 Линейные пространства над числовым полем P называются изоморфными, если существует взаимно однозначное соответствие между векторами этих пространств, сохраняющее операции сложения
Ранги матрицы.
Для матрицы можно дать три определения ранга:
1. Столбцовый ранг - ранг системы столбцов.
2. Строчечный ранг - ранг системы строк.
3. Минорный ранг - Порядок наибольшего
Общее решение системы линейных уравнений.
Теорема 7.12. Размерность пространства решений однородной СЛУ равна
n-rgA.
Доказательство. Рассмотрим однородную систему линейных уравнений Ax=0. Множество решений системы
Двойственное пространство
Пусть V – линейное пространство над полем P. Линейной формой (функцией) над V называется функция, удовлетворяющая условиям
Взаимное расположение линейных многообразий в пространстве.
С помощью рангов соответствующих матриц можно определить взаимное расположение подпространств из некоторого пространства. При этом определённую пользу принесёт следующая теорема.
Теорема 7
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов