Двойственное пространство

Пусть V – линейное пространство над полем P. Линейной формой (функцией) над V называется функция, удовлетворяющая условиям

Свойство 7.3 Линейная форма определена своими значениями на базисных векторах.

Доказательство. Пусть базис V. Вектор x из V разложим по базису . Тогда .

На множестве линейных форм определим операции сложения и умножения на скаляр .

Свойство 7.4 Множество линейных форм образует линейное пространство

Доказательство. Проверим все аксиомы векторного пространства.

Определение 7.14 Пространство линейных форм называется двойственным к исходному пространству.

Свойство 7.5 Двойственное пространство изоморфно исходному.

Доказательство. Для доказательства достаточно показать совпадение размерностей исходного и двойственного пространств. Пусть базис V. Определим линейные формы . Эти линейные формы линейно независимы, и через них выражается любая другая линейная форма. Таким образом, эти линейные формы образуют базис двойственного пространства, и размерность двойственного пространства совпадает с размерностью исходного пространства.

Элементы двойственного пространства называются ковекторами.

Подпространству W линейного пространства V поставим в соответствие подпространство двойственного пространства, состоящее из линейных форм, обращающихся в ноль на всех векторах из W. Отметим некоторые свойства этого соответствия.

Свойство 7.6. Справедливы равенства

Доказательство. Поскольку только нулевая форма обращается в ноль на всех векторах из V, то первое равенство установлено.

Пусть , тогда линейная форма f равна 0 на всех векторах из U+W, а, значит, и . Тем самым установлено включение . Пусть , тогда линейная форма f равна 0 на всех векторах из U и W, а, значит, она равна 0 на всех векторах из U+W, то есть . Таким образом, получено включение . Объединив включение получим второе равенство.

Третье равенство доказывается аналогично второму равенству.

Пусть базис W, дополним его до базиса всего пространства векторами . Определим линейные формы , где j=1,…,n. Линейные формы образуют базис двойственного пространства и принадлежат . Покажем, что базис . Возьмём произвольную линейную форму f из и разложим её по базису . Тогда , и, значит, . Тем самым четвёртое равенство доказано.

Из четвёртого свойства вытекает, что размерность пространства решений системы однородных линейных уравнений равна разности размерности всего пространства и (строчечного) ранга матрицы.

Вектор из пространства V можно рассматривать как линейную форму в двойственном пространстве. Действительно, и . Следовательно, подпространству F двойственного пространства к V можно поставить в соответствие подпространство пространства V, образованное векторами из V, обращающими в 0 все линейные формы из F.

Свойство 7.7 Пусть - подпространство конечномерного линейного пространства . Тогда.

Доказательство. Пусть , тогда для всех линейных форм из , а, значит, . Тем самым установлено включение . Далее, , следовательно, .

Следствие 7.12 Любое подпространство арифметического пространства можно задать системой линейных уравнений.

Доказательство. Очевидным образом следует из равенства .

Рассмотрим задачу построения системы однородных линейных уравнений задающих линейную оболочку системы векторов (для определённости будем считать эту систему векторов линейно независимой а исходное пространство арифметическим). Следуя проведённым теоретическим построениям, мы должны поступать следующим образом. Дополним систему векторов до базиса всего пространства векторами . Далее, найдём обратную матрицу к матрице A, составленную из векторов . Последние n-k строк матрицы будут определять требуемую систему. Однако, можно уменьшить объём вычислений. Действительно, базис подпространства определяется как базис пространства решений однородной системы линейных уравнений .

Следствие 7.13 Любое линейное многообразие можно задать системой неоднородных уравнений.