Неприводимый многочлен, его свойства

Многочлен называется неприводимым над числовым полем, если он не делится на многочлены меньшей степени (исключая константы)

Теорема 2.7 Пусть многочлен f(x) неприводим. Тогда

I. Из вытекает, либо , либо .

II. Если неприводимый многочлен делится на неприводимый многочлен, то они отличаются числовым множителем.

Доказательство.

Докажем первое утверждение. Если , то утверждение верно. Пусть не делится на, тогда и найдутся многочлены и , что . Умножим полученное равенство на : . В левой части равенства все слагаемые делятся на , следовательно, .

Второе утверждение следует непосредственно из определения неприводимого многочлена.

Теорема 2.8 Многочлен над числовым полем единственным образом раскладывается в произведение неприводимых многочленов, с точностью до перестановки сомножителей и числовых множителей.

Доказательство проведём индукцией по числу сомножителей. Если многочлен имеет один сомножитель, то он неприводим, и теорема верна. Пусть теорема верна для любого многочлена, разлагающегося на не более n-1 сомножителей. Допустим, найдётся многочлен, имеющий как минимум два разложения на неприводимые множители (). Поскольку произведение делится на , то найдётся номер i, что делится на . Переставим сомножители так, чтобы i=s. Многочлены и отличаются числовым множителем. Следовательно, . По предположению индукции s-1=n-1 и сомножители отличаются только порядком и числовыми коэффициентами. Теорема доказана.