Модуль. 5. Эйлеровы интегралы. Гх и Вх,у функции

 

 

ОРИЕНТИРОВОЧНЫЙ ПЛАН ЗАНЯТИЙ

Тема	Занятия	Модуль.
1. Определенные интегралы		к/р
2. Несобственные интегралы		к/р
3. Ряды
4. Бесконечные произведения
5. Эйлеровы интегралы. Г(х) и В(х,у) функции
6. Функции многих переменных		к/р
7. Двойные и тройные интегралы		к/р
8. Криволинейные и поверхностные интегралы
9. Элементы теории поля

Методические материалы содержат задачи для решения на практических занятиях и для домашних заданий.

Литература.

1. Д. Демидович. Сборник задач и упражнений по математическому анализу.

2. Б.Т. Батыгин, Топтыгин. Сборник задач по электродинамике.

3. К. Кудрявцев. Задачи по математическому анализу. Ч.1

4. *. Задачи без определенного адреса.

 

Баллы для зачета набираются следующим образом:

1. Посещение лекций 10 баллов (н –2 балла).

2. Посещение практических занятий 10 баллов (н –1 балл).

3. Участие в практических занятиях 15 баллов.

4. Контрольные работы 40 баллов.

5. Домашние задания 25 баллов.

Всего 100 баллов.

 

 

Оценки по зачету: 0–49 FX(не зачет),

50–59 E, 60–69 D,70–79 C, 80–89 B, 90–100 A

После зачетаколичество набранных баллов умножается на 0,6 и получившееся количество баллов есть стартовым для сдачи экзамена. На экзаменвыносится 40 баллов.

ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

1.

Демидович. 22(07,09,11), 2185, 22(13,20,21,23),

Применяя формулу Ньютона-Лейбница найти определённые интегралы и нарисовать соответствующие криволинейные площади:

2207.. 2209.. 2211..

С помощью формулы Ньютона-Лейбница вычислить:

2213. (0 ≤ ε <1).

2185. Вычислить по определению (через интегральные суммы) интеграл.

Примечание:.

2220л. Вычислить с помощью определённого интеграла

.

C помощью определённых интегралов, найти:

2221.. 2223.

(p > 0).

2.

Демидович. 22(31,33,42,51,52,53,57,64,66).

2231. Найти: ;; .    

3.

Демидович. 22(86,91,92) 23(04,05,06,09,10).

2291. Пользуясь формулами Эйлера вычислить интеграл . 2292. Пользуясь формулами Эйлера, вычислить .

4.

Демидович. 23(16,17,18, *,*,21,24,25,26.1).

 

Определить знаки следующих определенных интегралов

2317. Какой из двух интегралов больше: а) или ; б) или ; в)или .

5.

Демидович. 23(28,29,98) 24(01,03,16,20,11).

2328. . 2329. . Найти площади фигур, ограниченных кривыми: 2398. y = x2, x + y = 2.

Демидович. *, 24(15,20,21,34,42,62,63, 65).

Найти площади фигур, ограниченных кривыми:

X = acost, y = bsint.

X = a(cost + tsint), y = a(sint – tcost) (0 ≤ t ≤ 2π) (развертка круга) и x = a, y≤ 0.

2420. . 2421. ; , .

2434. Найти длину дуги кривой: y = e^х (0 ≤ х ≤ х₀).

2442. Найти длину дуги следующей кривой ,.

Найти объемы тел, ограниченных поверхностями

2462. ; , . 2465л. ,

.

2463. Найти объём тела, ограниченного поверхностью:

.

 

7.

Демидович. 2497, 25(02,03,10,13,23,25,28).

2497. Найти площадь поверхности вращения образованной вращением кривой вокруг полярной оси. 2502. Найти статический момент и момент инерции однородной треугольной… 2503. Найти моменты инерции однородной эллиптической пластинки с полуосями а и b относительно ее главных осей .

Исследовать интегралы на сходимость

2358. . 2359. .

 

 

2.

Демидович. 23(60,61,62,63,68,69,70,72,74)

 

Исследовать сходимость интегралов:

2360. . 2361. . 2362. .

2363.,. 2368.. 2369. . 2370. . 2372. . 2374..

 

3.

Демидович. 23(78,79,80,80.1,80.2,81,84,92,*,*)

2378. . 2379. . 2380. . . 2380.1.. 2380.2. . 2381. . 2384. Если сходится, то обязательно ли при .

Рассмотреть примеры: а) , б) .

2392. Найти v.p. .

При каких значениях параметров и сходятся интегралы, а при каких расходятся: *) . *) .

 

РЯДЫ

1.

Демидович. 25(74,76,78,79,80,83,84,86,89.2), 2626.

2574. Пользуясь критерием Коши доказать сходимость ряда

2576. Пользуясь критерием Коши доказать расходимость ряда

Пользуясь признаками Даламбера, Коши и сравнения исследовать сходимость рядов

2578.

2579.

2580. .

Исследовать сходимость рядов

2583. .

2584. .

2586. . 2589.2. .

2626. .

 

Для заметок:

 

 

2.

Демидович.26(33,34,38,42,67,68,69,71,73.1,75).

Исследовать сходимость рядов:

2633. . 2634. . 2638. .

2642. .

Исследовать сходимость знакопеременных рядов:

2667. . 2668. .

2669. . 2671. .

2673.1. . 2675. .

3.

Демидович. 27(16,17,18,20,21,22,23,25,26,28,31).

2716. . 2717. . 2718. . 2720. . 2721. . 2722. .  

Доказать равенства: 3051. .

3058. . 3060. . 3061. Доказать сходимость и определить значение бесконечного произведения . … Исследовать сходимость бесконечных произведений:

1.

Демидович.38(43,44,45,46,47,48,51,52,56,57,59,61,68).

3843. . 3844. . 3845.. 3846 .. 3847. . 3848.. Определить область существования и выразить через эйлеровы следующие… 3851. (n>0). 3852..

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

1.

Демидович 31(59, 88, 89,*), 32(28,83,85), 33(07,22,25).

 

3159. Построить линии уровня функции .

Найти двойные пределы:

3188. . 3189. .

*). Найти первые и вторые частные производные функции

.

3228. Найти частные производные первого и второго порядка .

Найти первые и вторые частные производные от следующих функций

3283. . 3285. .

3307. Найти , если .

Проверить равенства

3322. , где .

3325. , где .

 

2.

Демидович 32(36,37,40,45,*,71,75,88,90,95,98).

Найти дифференциалы первого и второго порядка для функций:

3236. . 3237. . 3240. .

3245. Заменяя приращение функции дифференциалом приближенно вычислить:

 

 

а) , б) ,

в) , г) , д) .

*). Найти первый дифференциал функции .

Найти дифференциалы указанного порядка

3271. , . 3275. , .

Найти дифференциалы первого и второго порядка(– независимые переменные)

3288. . 3290. .

3295. , . 3298. .

 

3.

Демидович 33(21,26,55,58,85,95,96), 34(01,02,*,07.1,07.2,*).

3321л. , где . 3326. , где . 3355л. Найти , если .

4.

Демидович 34(81,82,83,89,95), 35(13,15,*).

Перейти к полярным координатам в следующих выражениях: 3481. . 3482. . 3483. .

5.

Демидович *, 35(82,86,87(б),88,94,95,96), 3602.

 

В окрестности указанных точек разложить в ряд Тейлора следующие функции:

*). , .

3582. , .

3586. Разложить по формуле Маклорена функцию до членов 4-го порядка включительно .

3587(б). С точностью до членов второго порядка получить приближенную формулу для , если

3588. Упростить выражение , считая малыми по абсолютной величине.

Разложить в ряд Маклорена:

3594. . 3595. .

3596. .

3602. Функцию разложить в степенной ряд по целым положительным степеням биномов и .

 

6.

Демидович. 36(24,25,27,33,45*,48,51,55,57.1,77,78).

3624. . 3625. . 3627. . 3633. . 3645*. 3648. .

1.

Демидович. 39(06,08,13,16,18,19,24,27,30,31,

37,40,51,62. 57,67,71,74).

Вычислить интегралы:

3906.. 3908. .

3913.Найти среднее значение функции f (x ,y)=в квадрате .

Расставить пределы интегрирования в различном порядке:

3916.-треугольник с вершинами О(0,0); A(1,0); B(0,1).

3918.– трапеция с вершинами O(0,0); A(1,0); B(1,2); C(0,1).

3919. Определить пределы интегрирования по где круг

Изменить порядок интегрирования.

3924.. 3927.. 3930.. 3931..

Расставить пределы интегрирования в полярной системе координат.

3937.

3940.

Заменить двойные интегралы однократными, переходя к новой системе координат.

3951.. 3962..

Сделать замену переменных в двойных интегралах:

3957. (0 < a < b, 0 < u = x, v =

Вычислить:

3967..

3971.. 3974..

2.

Демидович 39(84,87,97), 40(07,09,18,21,36,

37,41,52,73)

Вычислить площади:

3984. xy =a, x + y = (a>0);

3987. (в полярных координатах)

3997. xy = a, xy = 2a, y = x, y = 2x, (x > 0, y > 0).

Найти объёмы:

4007. z = 1+ x + y, z = 0, x + y = 1, x = 0, y =0.

4009., y = 1, z = 0.

4018. (переходя к полярным координатам)

4021.

4036. Найти площадь части поверхности az = xy, заключённой внутри поверхности

4037.Найти площадь поверхности тела ограниченного поверхностями

4046. Найти поверхность и объём тела, ограниченного поверхностями , (а > 0).

4052.Найти координаты центра тяжести однородной пластинки x + y = 2a. (a > 0).

4073.Определить силу притяжения однородным цилиндром , материальной точки Р(0,0,b), если масса цилиндра равна М, а масса точки m.

 

 

Демидович 40(77,78,82,83,91,92), 41(02,03,06,07,33,37,59).

Вычислить тройные интегралы: 4077., V. 4078. V.

ДОП. МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И

КРАТНЫЕ НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Демидович.41(61, 63, 74,76,79,96,97,98), 42(04,09,10).   Исследовать на сходимость несобственные интегралы с бесконечной областью интеграции (0 £ m £ |j(x, y)|…

КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ.

1.

Демидович 42 (21, 23, 26, 31,32,38, 50, 52,

59*,64,71,72,74,83,84).

Вычислить криволинейные интегралы 1-го рода:

4221.,С–контур треугольника с вершинами О(0,0), А(1,0), В(0,1).

4223.

4226..

4231. Найти длину дуги кривой x = 3t, y = 3t², z = 2t³ от О(0, 0, 0) до A(3,3,2).

4232. Найти длину дуги

4238. Вычислить .

Вычислить криволинейные интегралы 2-го рода:

4250., в направлении возрастания величины х.

4252., эллипс пробегается против часовой стрелки.

4259^* .

4264.вдоль путей, не проходящих через начало координат.

4271. Найти z(х, у), если .

 

Найти первообразную:

4272^*

4274^*

4283. Вычислить ,

где C – контур, ограничивающий часть сферы , , пробегаемый так, что внешняя сторона поверхности остается слева

4284^* Вычислить:

.

.

2.

Демидович 43(43,44, 45,52,62, 64, 68,70,73,77, 87,88).

Вычислить поверхностные интегралы : 4343. . 4344..

3.

Демидович 44 ( 02,22.1,31, 36, 36.1,38, 39, 41, 42,44, 45, 45.1).

4402. В каких точках пространства Oxyz градиент поля U = x3 + y3 + z3 –3xyz: a) оси Oz; б) ïï оси Oz; в) = 0. 4422.1. Найти дивергенцию поля в точке М (3,4,5).

4.

Демидович 44 ( 52, 52.1, 52.2,54,55,57)

 

4452. Найти работу вектора вдоль отрезка винтовой линии

.

4452. 1. Найти работу поля вдоль прямолинейного отрезка .

 

4452.2. Найти работу поля вдоль прямолинейного отрезка ОМ: O(0, 0, 0), М(1, 3, 5).

4454. Найти циркуляцию вектора (с – постоянная): а) вдоль окружности (x – 2)² + y² = 1, z = 0;

б) вдоль окружности x² + y² = 1, z = 0.

4455. Найти циркуляцию Г вектора вдоль контура С в двух случаях: а) С – не окружает ось Оz;

б) С – окружает ось Оz.

4457. Показать, что поле

– потенциально и найти потенциал этого поля.

 

Батыгин,Топтыгин 39а,б,в,г,д,е, 40 а,в,д, 42,43,

50(1,4), 51(1,2,3).

39а,б,в,г,д,е.Доказать тождества:

а)

б)

в)

г) ;

д) ;

е) .

40 а, в, д . Доказать тождества:

а)

б)

в)

42. Найти функциюудовлетворяющую условию:

43. Найти дивергенции и вихри следующих векторов:

где и – постоянные векторы.

50 (1). Вычислить , где - пост. вектор, - орт нормали к поверхности S.

50(4). Вычислить интеграл где – постоянный вектор, – единичный вектор нормали к поверхности S.

51 (1). Интеграл по замкнутой поверхности преобразовать в интеграл по объему, заключенному внутри поверхности (– орт нормали).

51 (2,3). Интегралы по замкнутой поверхности S и (– постоянные векторы, – орт нормали к S) преобразовать в интегралы по объему, заключенному внутри поверхности.

*** Дополнение

Формула Грина: .

Формула Стокса:

;.

 

 

Формула Гаусса – Остроградского:

;

.

Формула Ньютона – Лейбница: .

*

; .

Если z = z(x, y), то .

Если т.е. , то

; .

*

 

ДОП. ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ

ГЕОМЕТРИИ

1.

Кудрявцев (I) §24 № 1(1,2), 2, 5, 11(3), 12(1,2,3,4),13.20,21,27,48,51,52,76(3),77(1),78(1), 109(1), 110(1), 118,122,123,124(1,2).

1. Построить годографы вектор-функций (tÎR): 1) x = cost, y = sint, z =1; 2) x = sint, y = cost, z = t2; 2. Доказать, что годограф вектор-функции лежит на сфере.

Дополнение.

Плоские кривые: Касательная: . Нормаль: .

Первый курс. ВТОРОЙ семестр

2. Свойства разбиений и разбиений с отмеченными точками. Определение определенного интеграла на языке e-d. Необходимое условие интегрируемости. 3. Суммы и интегралы Дарбу, их свойства. Критерий Дарбу интегрируемости… 4.Интегрируемость непрерывных и монотонных функций. Интегрируемость суммы, произведения и частного интегрируемых…