Модуль. 5. Эйлеровы интегралы. Гх и Вх,у функции
ОРИЕНТИРОВОЧНЫЙ ПЛАН ЗАНЯТИЙ
| Тема | Занятия | Модуль. |
| 1. Определенные интегралы | к/р | |
| 2. Несобственные интегралы | к/р | |
| 3. Ряды | ||
| 4. Бесконечные произведения | ||
| 5. Эйлеровы интегралы. Г(х) и В(х,у) функции | ||
| 6. Функции многих переменных | к/р | |
| 7. Двойные и тройные интегралы | к/р | |
| 8. Криволинейные и поверхностные интегралы | ||
| 9. Элементы теории поля |
Методические материалы содержат задачи для решения на практических занятиях и для домашних заданий.
Литература.
1. Д. Демидович. Сборник задач и упражнений по математическому анализу.
2. Б.Т. Батыгин, Топтыгин. Сборник задач по электродинамике.
3. К. Кудрявцев. Задачи по математическому анализу. Ч.1
4. *. Задачи без определенного адреса.
Баллы для зачета набираются следующим образом:
1. Посещение лекций 10 баллов (н –2 балла).
2. Посещение практических занятий 10 баллов (н –1 балл).
3. Участие в практических занятиях 15 баллов.
4. Контрольные работы 40 баллов.
5. Домашние задания 25 баллов.
Всего 100 баллов.
Оценки по зачету: 0–49 FX(не зачет),
50–59 E, 60–69 D,70–79 C, 80–89 B, 90–100 A
После зачетаколичество набранных баллов умножается на 0,6 и получившееся количество баллов есть стартовым для сдачи экзамена. На экзаменвыносится 40 баллов.
ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
1.
Демидович. 22(07,09,11), 2185, 22(13,20,21,23),
Применяя формулу Ньютона-Лейбница найти определённые интегралы и нарисовать соответствующие криволинейные площади:
2207.
. 2209.
. 2211.
.
С помощью формулы Ньютона-Лейбница вычислить:
2213.
(0 ≤ ε <1).
2185. Вычислить по определению (через интегральные суммы) интеграл
.
Примечание:
.
2220л. Вычислить с помощью определённого интеграла
.
C помощью определённых интегралов, найти:
2221.
. 2223.
(p > 0).
2.
Демидович. 22(31,33,42,51,52,53,57,64,66).
2231. Найти: ;; .3.
Демидович. 22(86,91,92) 23(04,05,06,09,10).
2291. Пользуясь формулами Эйлера вычислить интеграл . 2292. Пользуясь формулами Эйлера, вычислить .4.
Демидович. 23(16,17,18, *,*,21,24,25,26.1).
Определить знаки следующих определенных интегралов
2317. Какой из двух интегралов больше: а) или ; б) или ; в)или .5.
Демидович. 23(28,29,98) 24(01,03,16,20,11).
2328. . 2329. . Найти площади фигур, ограниченных кривыми: 2398. y = x2, x + y = 2.Демидович. *, 24(15,20,21,34,42,62,63, 65).
Найти площади фигур, ограниченных кривыми:
X = acost, y = bsint.
X = a(cost + tsint), y = a(sint – tcost) (0 ≤ t ≤ 2π) (развертка круга) и x = a, y≤ 0.
2420. 
. 2421. 
; 
, 
.
2434. Найти длину дуги кривой: y = eх (0 ≤ х ≤ х0).
2442. Найти длину дуги следующей кривой 
,
.
Найти объемы тел, ограниченных поверхностями
2462. 
; 
, 
. 2465л. 
,
.
2463. Найти объём тела, ограниченного поверхностью:
.
7.
Демидович. 2497, 25(02,03,10,13,23,25,28).
2497. Найти площадь поверхности вращения образованной вращением кривой вокруг полярной оси. 2502. Найти статический момент и момент инерции однородной треугольной… 2503. Найти моменты инерции однородной эллиптической пластинки с полуосями а и b относительно ее главных осей .Исследовать интегралы на сходимость
2358. 
. 2359. 
.
2.
Демидович. 23(60,61,62,63,68,69,70,72,74)
Исследовать сходимость интегралов:
2360. 
. 2361. 
. 2362. 
.
2363.
,
. 2368.
. 2369. 
. 2370. 
. 2372. 
. 2374.
.
3.
Демидович. 23(78,79,80,80.1,80.2,81,84,92,*,*)
2378. 
. 2379. 
. 2380. 
. . 2380.1.
. 2380.2. 
. 2381. 
. 2384. Если 
сходится, то обязательно ли 
при 
.
Рассмотреть примеры: а) 
, б) 
.
2392. Найти v.p. 
.
При каких значениях параметров 
и 
сходятся интегралы, а при каких расходятся: *) 
. *) 
.
РЯДЫ
1.
Демидович. 25(74,76,78,79,80,83,84,86,89.2), 2626.
2574. Пользуясь критерием Коши доказать сходимость ряда
2576. Пользуясь критерием Коши доказать расходимость ряда
Пользуясь признаками Даламбера, Коши и сравнения исследовать сходимость рядов
2578. 
2579. 
2580. 
.
Исследовать сходимость рядов
2583. 
.
2584. 
.
2586. 
. 2589.2. 
.
2626. 
.
Для заметок:
2.
Демидович.26(33,34,38,42,67,68,69,71,73.1,75).
Исследовать сходимость рядов:
2633. 
. 2634. 
. 2638. 
.
2642. 
.
Исследовать сходимость знакопеременных рядов:
2667. 
. 2668. 
.
2669. 
. 2671. 
.
2673.1. 
. 2675. 
.
3.
Демидович. 27(16,17,18,20,21,22,23,25,26,28,31).
2716. . 2717. . 2718. . 2720. . 2721. . 2722. .Доказать равенства: 3051. .
3058. . 3060. . 3061. Доказать сходимость и определить значение бесконечного произведения . … Исследовать сходимость бесконечных произведений:1.
Демидович.38(43,44,45,46,47,48,51,52,56,57,59,61,68).
3843. . 3844. . 3845.. 3846 .. 3847. . 3848.. Определить область существования и выразить через эйлеровы следующие… 3851. (n>0). 3852..ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
1.
Демидович 31(59, 88, 89,*), 32(28,83,85), 33(07,22,25).
3159. Построить линии уровня функции 
.
Найти двойные пределы:
3188. 
. 3189. 
.
*). Найти первые и вторые частные производные функции
.
3228. Найти частные производные первого и второго порядка 
.
Найти первые и вторые частные производные от следующих функций
3283. 
. 3285. 
.
3307. Найти 
, если 
.
Проверить равенства
3322. 
, где 
.
3325. 
, где 
.
2.
Демидович 32(36,37,40,45,*,71,75,88,90,95,98).
Найти дифференциалы первого и второго порядка для функций:
3236. 
. 3237. 
. 3240. 
.
3245. Заменяя приращение функции дифференциалом приближенно вычислить:
а) 
, б) 
,
в) 
, г) 
, д) 
.
*). Найти первый дифференциал функции 
.
Найти дифференциалы указанного порядка
3271. 
, 
. 3275. 
, 
.
Найти дифференциалы первого и второго порядка(
– независимые переменные)
3288. 
. 3290. 
.
3295. 
, 
. 3298. 
.
3.
Демидович 33(21,26,55,58,85,95,96), 34(01,02,*,07.1,07.2,*).
3321л. , где . 3326. , где . 3355л. Найти , если .4.
Демидович 34(81,82,83,89,95), 35(13,15,*).
Перейти к полярным координатам в следующих выражениях: 3481. . 3482. . 3483. .5.
Демидович *, 35(82,86,87(б),88,94,95,96), 3602.
В окрестности указанных точек разложить в ряд Тейлора следующие функции:
*). 
, 
.
3582. 
, 
.
3586. Разложить по формуле Маклорена функцию 
до членов 4-го порядка включительно .
3587(б). С точностью до членов второго порядка получить приближенную формулу для 
, если 
3588. Упростить выражение 
, считая малыми по абсолютной величине.
Разложить в ряд Маклорена:
3594. 
. 3595. 
.
3596. 
.
3602. Функцию 
разложить в степенной ряд по целым положительным степеням биномов 
и 
.
6.
Демидович. 36(24,25,27,33,45*,48,51,55,57.1,77,78).
3624. . 3625. . 3627. . 3633. . 3645*. 3648. .1.
Демидович. 39(06,08,13,16,18,19,24,27,30,31,
37,40,51,62. 57,67,71,74).
Вычислить интегралы:
3906.
. 3908. 
.
3913.Найти среднее значение функции f (x ,y)=
в квадрате 
.
Расставить пределы интегрирования в различном порядке:
3916.
-треугольник с вершинами О(0,0); A(1,0); B(0,1).
3918.– трапеция с вершинами O(0,0); A(1,0); B(1,2); C(0,1).
3919. Определить пределы интегрирования по 
где 
круг 
Изменить порядок интегрирования.
3924.. 3927.. 3930.. 3931..
Расставить пределы интегрирования в полярной системе координат.
3937. 
3940. 
Заменить двойные интегралы однократными, переходя к новой системе координат.
3951.. 3962..
Сделать замену переменных в двойных интегралах:
3957.
(0 < a < b, 0 <
u = x, v = 
Вычислить:
3967..
3971.. 3974..
2.
Демидович 39(84,87,97), 40(07,09,18,21,36,
37,41,52,73)
Вычислить площади:
3984. xy =a
, x + y =
(a>0);
3987.
(в полярных координатах)
3997. xy = a, xy = 2a, y = x, y = 2x, (x > 0, y > 0).
Найти объёмы:
4007. z = 1+ x + y, z = 0, x + y = 1, x = 0, y =0.
4009.
, y = 1, z = 0.
4018. (переходя к полярным координатам)
4021.
4036. Найти площадь части поверхности az = xy, заключённой внутри поверхности 
4037.Найти площадь поверхности тела ограниченного поверхностями 
4046. Найти поверхность и объём тела, ограниченного поверхностями 
, (а > 0).
4052.Найти координаты центра тяжести однородной пластинки 
x + y = 2a. (a > 0).
4073.Определить силу притяжения однородным цилиндром 
, 
материальной точки Р(0,0,b), если масса цилиндра равна М, а масса точки m.
Демидович 40(77,78,82,83,91,92), 41(02,03,06,07,33,37,59).
Вычислить тройные интегралы: 4077., V. 4078. V.ДОП. МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И
КРАТНЫЕ НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Демидович.41(61, 63, 74,76,79,96,97,98), 42(04,09,10). Исследовать на сходимость несобственные интегралы с бесконечной областью интеграции (0 £ m £ |j(x, y)|…КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ.
1.
Демидович 42 (21, 23, 26, 31,32,38, 50, 52,
59*,64,71,72,74,83,84).
Вычислить криволинейные интегралы 1-го рода:
4221.
,С–контур треугольника с вершинами О(0,0), А(1,0), В(0,1).
4223.
4226.
.
4231. Найти длину дуги кривой x = 3t, y = 3t2, z = 2t3 от О(0, 0, 0) до A(3,3,2).
4232. Найти длину дуги 
4238. Вычислить 
.
Вычислить криволинейные интегралы 2-го рода:
4250.
, в направлении возрастания величины х.
4252.
, эллипс пробегается против часовой стрелки.
4259* 
.
4264.
вдоль путей, не проходящих через начало координат.
4271. Найти z(х, у), если 
.
Найти первообразную:
4272* 
4274* 
4283. Вычислить 
,
где C – контур, ограничивающий часть сферы 
, 
, пробегаемый так, что внешняя сторона поверхности остается слева
4284* Вычислить:
.
.
2.
Демидович 43(43,44, 45,52,62, 64, 68,70,73,77, 87,88).
Вычислить поверхностные интегралы : 4343. . 4344..3.
Демидович 44 ( 02,22.1,31, 36, 36.1,38, 39, 41, 42,44, 45, 45.1).
4402. В каких точках пространства Oxyz градиент поля U = x3 + y3 + z3 –3xyz: a) оси Oz; б) ïï оси Oz; в) = 0. 4422.1. Найти дивергенцию поля в точке М (3,4,5).4.
Демидович 44 ( 52, 52.1, 52.2,54,55,57)
4452. Найти работу вектора 
вдоль отрезка винтовой линии
.
4452. 1. Найти работу поля 
вдоль прямолинейного отрезка 
.
4452.2. Найти работу поля 
вдоль прямолинейного отрезка ОМ: O(0, 0, 0), М(1, 3, 5).
4454. Найти циркуляцию вектора 
(с – постоянная): а) вдоль окружности (x – 2)2 + y2 = 1, z = 0;
б) вдоль окружности x2 + y2 = 1, z = 0.
4455. Найти циркуляцию Г вектора 
вдоль контура С в двух случаях: а) С – не окружает ось Оz;
б) С – окружает ось Оz.
4457. Показать, что поле
– потенциально и найти потенциал этого поля.
Батыгин,Топтыгин 39а,б,в,г,д,е, 40 а,в,д, 42,43,
50(1,4), 51(1,2,3).
39а,б,в,г,д,е.Доказать тождества:
а) 
б) 
в) 
г) 
;
д) 
;
е) 
.
40 а, в, д . Доказать тождества:
а) 
б) 
в) 
42. Найти функцию
удовлетворяющую условию: 
43. Найти дивергенции и вихри следующих векторов:
где 
и 
– постоянные векторы.
50 (1). Вычислить 
, где - пост. вектор, 
- орт нормали к поверхности S.
50(4). Вычислить интеграл 
где – постоянный вектор, – единичный вектор нормали к поверхности S.
51 (1). Интеграл по замкнутой поверхности 
преобразовать в интеграл по объему, заключенному внутри поверхности (– орт нормали).
51 (2,3). Интегралы по замкнутой поверхности S 
и 
(
– постоянные векторы, – орт нормали к S) преобразовать в интегралы по объему, заключенному внутри поверхности.
*** Дополнение
Формула Грина: 
.
Формула Стокса:
;
.
Формула Гаусса – Остроградского:
;
.
Формула Ньютона – Лейбница: 
.
*
; 
.
Если z = z(x, y), то 
.
Если 
т.е. 
, то
; 
.
* 
ДОП. ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ
ГЕОМЕТРИИ
1.