Кудрявцев (I) §24 № 1(1,2), 2, 5, 11(3), 12(1,2,3,4),13.20,21,27,48,51,52,76(3),77(1),78(1), 109(1), 110(1), 118,122,123,124(1,2).

1. Построить годографы вектор-функций (tÎR):

1) x = cost, y = sint, z =1; 2) x = sint, y = cost, z = t²;

2. Доказать, что годограф вектор-функции лежит на сфере.

5. Доказать, что вектор-функция является бесконечно малой при t ® 0.

11.Найти производную вектор-функции и написать уравнение касательной в произвольной точке её годографа, если:

3)

12. Найти производные функций:

1) 2)

3) 4)

13. Доказать, что если длина векторов постоянна в окрестности точки и существует производная от , то векторы и ортогональны. Каков механический смысл этого факта.

20. Доказать: если постоянные, то: 1) ; 2) .

21. Доказать, что если , где постоянные, то .

27. Доказать, что годограф вектор-функции

, , где постоянные векторы, причем и не коллинеарны, является эллипсом.

48. Найти уравнение касательной прямой и нормальной плоскости к кривой: в произвольной ее точке.

51. Найти нормальную плоскость к кривой z = x² + y², y = x перпендикулярную к прямой x = y = z.

52. Найти касательную к кривой x²+ y² =10, y²+z² =25 в точке (1, 3, 4).

76 (3). Найти кривизну и радиус кривизны в произвольной точке кривой

77 (1). Найти кривизну и центр кривизны в произвольной точке кривой

78 (1). Найти кривизну эллипса x = acost, y = bsint,

109 (1). Написать уравнение соприкасающейся, нормальной и спрямляющей плоскости в произвольной точке кривой: x = acost, y = asint, z = bt (цилиндрическая спираль).

110 (1). Найти уравнение главной нормали и бинормали к кривой x = a cost, y = a sint, z = bt.

118. Найти векторы кривой x = t sint, y = t cost, z = ye^t в начале координат.

122. Найти кривизну кривой:

1) x = acht, y = asht, z = bt; 2) x = lncost, y = lnsint, z = t; 3) .

123. Найти кручение кривой:

1) x = e^tcost, у = e^tsint, z = e^t; 2) x = achtcost, y = achtsint, z = at; 3) y² =x, x² = z.

124. Найти кривизну и кручение кривой:

1) 2ay = x², 6a²z = x³; 2) x = acht, y = asht, z = at;