1. Задача о нахождении ориентированной площади криволинейной трапеции и ее решение. Определенный интеграл.
2. Свойства разбиений и разбиений с отмеченными точками. Определение определенного интеграла на языке e-d. Необходимое условие интегрируемости.
3. Суммы и интегралы Дарбу, их свойства. Критерий Дарбу интегрируемости функции по Риману.
4.Интегрируемость непрерывных и монотонных функций. Интегрируемость суммы, произведения и частного интегрируемых функций. Критерий Лебега интегрируемости функций по Риману.
5. Основные свойства определенного интеграла: нормировка, линейность, монотонность, аддитивность.
6. Интегрирование неравенств. Теоремы о положительности интеграла от неотрицательной функции, равенстве нулю интеграла от функции почти всюду равной нулю, равенстве интегралов от функций, которые совпадают почти всюду .
7. Первая теорема о среднем для определенного интеграла, ее геометрическая интерпретация. Пример применения.
8. Непрерывность и дифференцируемость определенного интеграла с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.
9. Формулы замены переменной и введения новой переменной в определенном интеграле. Формула интегрирования по частям. Примеры применения.
10. Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме.
11. Вторая теорема о среднем для определенного интеграла. Формулы Бонне. Пример применения.
12. Применение определенного интеграла для вычисления площадей ограниченных плоскими кривыми и длин дуг кривых при различных способах задания кривых. Примеры.
13. Вычисление площадей поверхностей и объемов тел, полученных вращением плоских кривых вокруг некоторой оси. Объем тела с известным поперечным сечением. Теоремы Гульдина.
14. Применение определенного интеграла для вычисления работы, статических моментов и моментов инерции. Нахождение координат центров тяжести кривых, плоских областей и пространственных тел.
15. Две причины неприменимости идеи определенного интеграла. Определение несобственного интеграла. Сходимость и расходимость несобственных интегралов. Примеры.
16. Основные свойства несобственного интеграла: линейность, монотонность, аддитивность. Формула Ньютона-Лейбница для несобственных интегралов.
17. Формулы замены переменных и интегрирования по частям для несобственных интегралов. Необходимое условие существования несобственного интеграла.
18. Критерий Коши сходимости несобственных интегралов. Примеры применения.
19. Признаки сходимости интегралов от знакопостоянных функций:мажорантный признак и признаки одновременной сходимости-расходимости интегралов.
20. Абсолютная и условная сходимость интегралов от знакопеременных функций, связь между ними. Примеры абсолютно и условно сходящихся интегралов.
21. Признаки Абеля и Дирихле сходимости интегралов от знакопеременных функций.
22. Поведение подинтегральной функции сходящегося интеграла на бесконечности. Примеры.
23. Интегралы Фруллани. Главное значение расходящегося интеграла по Коши. Пример вычисления.
24. Квадратурные формулы прямоугольников, трапеций, парабол (Симпсона) для приближенного вычисления определенных интегралов. Остаточные члены этих формул.
25. Определение ряда. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Критерий Коши сходимости ряда. Необходимое условие сходимости.
26. Признаки сходимости знакопостоянных рядов. Мажорантный признак сходимости и признаки одновременной сходимости-расходимости рядов. Дзета-функция Римана.
27. Признаки Коши, Даламбера, Раабе и Куммера сходимости знакопостоянных рядов. Признак Гаусса. Примеры применения.
28. Абсолютная и условная сходимость рядов, связь между ними. Признак Лейбница условной сходимости знакочередующегося ряда. Признаки Абеля и Дирихле условной сходимости знакопеременных рядов.
29. Функциональные ряды, область сходимости функционального ряда. Степенные ряды, круг и радиус сходимости степенного ряда. Формула Коши-Адамара для радиуса сходимости степенного ряда. Области сходимости рядов Маклорена для основных элементарных функций.
30. Бесконечные произведения, постановка задачи и определения. Необходимое условие сходимости бесконечного произведения.
31. Достаточное условие сходимости бесконечного произведения. Связь между Рядами и бесконечными произведениями. Абсолютная и условная сходимость бесконечных произведений.
32. Разложение синуса и косинуса в бесконечные произведения. Формула Валлиса. Формула Стирлинга.
33. Эйлеров интеграл первого рода – Бетта-функция. Основные свойства и рекурентные соотношения. Связь с Гамма-функцией.
34. Эйлеров интеграл второго рода – Гамма-функция. Различные способы определения Гамма-функции. Формулы понижения и дополнения для Гамма-функции.
35. Норма и метрика в евклидовом пространстве. Окрестности. Внутренние, граничные и предельные точки множеств. Открытые, замкнутые и связные множества.
36. Предел последовательности в евклидовом пространстве. Фундаментальные последовательности. Критерий Коши сходимости последовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса о
выделении сходящейся подпоследовательности из бесконеч-
ной ограниченной последовательности.
37. Функции многих переменных: определения, терминология, примеры. Предел функции многих переменных. Повторные пределы, примеры.
38. Непрерывные функции многих переменных, примеры. Теоремы о непрерывности суммы, произвевения и частного непрерывных функций. Непрерывность сложной функции.
39. Свойства функций непрерывных в области. Теорема Больцано-Коши. Теоремы Вейерштрасса о наибольших и наименьших значениях функций, непрерывных в замкнутой области.
40. Равномерная непрерывность Функции на множестве. Теорема Кантора о равномерной непрерывности функции на ограниченном замкнутом множестве и ее следствие.
41. Компактные множества в евклидовом пространстве. Теорема Бореля о конечном покрытии замкнутого ограниченного множества.
42. Частные производные и частные дифференциалы функции многих переменных. Определение и условия существования дифференциала функции многих переменных. Примеры дифференцируемых и не дифференцируемых функций.
43. Производная сложной функции. Формула конечных приращений для функции многих переменных. Производная функции по направлению. Градиент функции.
44. Производные высших порядков. Теорема о смешанных производных. Пример показывающий, что смешанные производные не всегда совпадают.
45. Определение дифференциала более высокого порядка, чем первый. Условия существования и формулы для нахождения. Инвариантность формы первого и не инвариантность формы старших дифференциалов относительно замены переменных.
46. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа для функции многих переменных.
47. Экстремумы функции многих переменных. Необходимые условия экстремума дифференцируемой функции.
48. Достаточные условия функции многих переменных. Критерий Сильвестра положительной и отрицательной определенности второго дифференциала функции.
49. Нахождение наибольших и наименьших значений функции в замкнутой области. Примеры.
50. Теоремы о неявных функциях. Примеры нахождения производных от функций заданных неявно.
51. Условные экстремумы функций многих переменных. Метод неопределенных множителей Лагранжа.
52. Промежутки в евклидовых пространствах. Мера промежутка и ее свойства. Диаметр промежутка и его связь с мерой.
53. Разбиение промежутка и разбиение с отмеченными точками. Отношение «крупнее-мельче» для разбиений. Интегральные суммы. Определение кратного интеграла. Необходимое условие интегрируемости.
54. Верхние и нижние интегральные суммы Дарбу. Критерий Дарбу интегрируемости функции. Определение интеграла от функции по множеству, его корректность.
55. Свойства кратных интегралов: условие нормировки, линейность, аддитивность.
56. Свойства кратных интегралов: монотонность, интегрирование неравенств, теорема о среднем.
57. Теорема Фубини о переходе в кратном интеграле к повторным. Примеры.
58. Замена переменных в кратном интеграле. Якобианы перехода от декартовой системы координат к полярной, цилиндрической и сферической системам координат.
59. Примеры вычисления кратных интегралов с помощью замены переменных.
60. Определение кривой. Криволинейный интеграл первого рода, определение, свойства и его физический смысл.
61. Вычисление элемента длины дуги кривой при различных способах задания кривой. Примеры вычисления криволинейных интегралов первого рода.
62. Определение и свойства криволинейного интеграла второго рода.
63. Формула Грина для криволинейного интеграла второго рода по плоскому замкнутому контуру.
64. Условие независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования.
65. Решение задачи о нахождении первообразной для функции трех переменных. Пример.
66. Определение поверхности в пространстве. Координатные линии поверхности. Нормаль к поверхности. Уравнение касательной плоскости и нормальной прямой в заданной точке поверхности.
67. Ориентация поверхности и замкнутого контура на поверхности, взаимная связь ориентаций поверхности и контура на ней. Односторонние и двухсторонние поверхности.
68. Задача о нахождении площади поверхности. Сапог Шварца.
69. Скалярный и векторный элементы площади поверхности. Первая квадратичная форма поверхности и ее связь с элементом площади поверхности.
70. Поверхностный интеграл первого рода, его свойства и физический смысл. Примеры вычисления поверхностных интегралов первого рода.
71. Поверхностный интеграл второго рода, его свойства и физический смысл. Примеры вычисления поверхностных интегралов второго рода.
72. Скалярное поле и его характеристики. Линии уровня скалярного поля. Производная поля по направлению, градиент скалярного поля. Инвариантное относительно системы координат определение градиента скалярного поля.
73. Векторное поле и его характеристики. Векторные линии векторного поля и их дифференциальное уравнение.
74. Теорема Гаусса-Остроградского о связи между поверхностным интегралом по замкнутой поверхности и интегралом по объему, ограниченному данной поверхностью. Координатное определение дивергенции векторного поля.
75. Инвариантное относительно системы координат определение дивергенции векторного поля. Физический смысл дивергенции векторного поля. Формула Гаусса-Остроградского с использованием понятия дивергенции. Физический смысл формулы Гаусса-Остроградского.
76. Теорема Стокса о связи между криволинейным интегралом по замкнутому контуру и интегралом по поверхности, натянутой на данный контур. Координатное определение ротора векторного поля.
77. Инвариантное относительно системы координат определение ротора векторного поля. Физический смысл ротора векторного поля. Формула Стокса с использованием понятия ротора. Физический смысл формулы Стокса.
78. Потенциальные поля. Условия потенциальности векторного поля. Решение задачи о нахождении потенциала поля.
79. Оператор Гамильтона. Запись градиента, дивергенции и ротора с помощью оператора Гамильтона. Примеры вычисления градиента, дивергенции и ротора с помощью оператора Гамильтона.
Для заметок: