Доказать равенства: 3051. .

3052.. 3056..

3058. . 3060. .

3061. Доказать сходимость и определить значение бесконечного произведения .

Исследовать сходимость бесконечных произведений:

3066. . 3073. . 3074. .

Исследовать на абсолютную и условную сходимость бесконечные произведения

3089. . 3090. .

 

*** Дополнение.

; .

При : – (ф-ла Валлиса).

Def: сходится, если существует, конечен и не равен нулю

.

 

*) Если и , то произведение называют расходящимся к нулю;

*) Если и , то произведение называют сходящимся к нулю или «нулевым» бесконечным произведением;

*) ~ (бесконечное произведение и ряд сходятся или расходятся одновременно).

*) Необходимое условие сходимости бесконечного произведения:

;

*) Если (не меняет знак), то следующее бесконечное произведение и ряды сходятся или расходятся одновременно:

~;

*) Если и u_n меняет знак, а ряды и сходятся, то сходится и произведение ;

*) называют абсолютно или условно сходящимся при соответствующей сходимости ряда ;

*) Необходимым и достаточным условием абсолютной сходимости бесконечного произведения является абсолютная сходимость ряда .

 

 

ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ.