рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Математика
/
Нахождение оптимального управления

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Нахождение оптимального управления

Нахождение оптимального управления - раздел Математика, Тема 1. Марковские процессы. Уравнение Чепмена-Колмогорова. Эргодичность Поставлена Следующая Задача: Найти Такое Управление В Модели (2), Чтобы К Мом...

Поставлена следующая задача: найти такое управление в модели (2), чтобы к моменту времени N капитал инвестора был максимальным.

Искать оптимальное управление будем методом, описанным в книге [1].

Перепишем (2) в виде:

(3)

Введем замену: , то есть в момент времени n капитал распределяется между реинвестированием и частичным потреблением. Получаем:

(4)

Для такого изменения капитала рассмотрим функцию полезности в виде ( означает склонность инвестора к риску, – инвестор не склонный к риску).

Согласно [1], пусть - это оценка модели на интервале . По формулам (5.10) и (5.14) запишем для такой оценки выражения:

(5)

где

(6)

Таким образом, исходная задача распадается на два этапа: сначала решается задача оптимального распределения средств между вложениями на банковский счет или вложениями в рисковые активы, а затем решается задача на определение оптимальных долей на потребление и реинвестирование.

Исследуя задачу (6) на максимум обычными средствами математического анализа, мы находим оптимальное долю вложения для случаев , и .

Обозначим

(7)

Эта функция непрерывна и достигает максимального значения в некоторой точке u* и

(8)

Рассмотрим 3 случая:

1й случай)

Тогда функция (8) выпукла вверх и положение u* зависит от знаков первых производных

(9)

Если

· Если

· Если (10)

· Если

и точка u* находится из уравнения

2й случай)

Функция (7) достигает наибольшего значения на концах отрезка [0,1], причем

(11)

3й случай)

Линейный случай.

(12)

Таким образом, для трех видов функции полезности мы нашли оптимальные доли распределения денежных средств между рисковым и безрисковым активами.

Исследуя задачу (5) на максимум обычными средствами математического анализа находим, что этот максимум достигается в точке и равен , где

, . (12)

Простая оптимальная стратегия получится, если мы определим как такое значение R, при котором достигается максимум в (5). Из модели (5) и формул (12) получаем:

(13)

где числа и находятся из соотношений:

, (14)

(15)

Из (14) видно, что если положить , то будет выполняться соотношение

Тогда

, при (16)

По формулам (14)-(15) числа и выражаются через как:

(17)

Уравнения (13),(17) дают решение задачи.

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Тема 1. Марковские процессы. Уравнение Чепмена-Колмогорова. Эргодичность

Рассмотрим функцию... это время...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Нахождение оптимального управления

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Тема 1. Марковские процессы. Уравнение Чепмена-Колмогорова. Эргодичность.
Будем рассматривать Марковские процессы с дискретным временем, дискретным пространством состояний и однородные. Введем следующие обозначения: пусть пространство состояний состоит из чисел

Тема 3. Марковські процессы с доходами.
– доход, который приносит переход из состояния i в состояние j. Можем ввести матрицу доходов R Чему равен ожидаемый доход за шагов, если мы находимся в

Свойства итерационного метода
1) Определение оптимального решения в процессе последовательных решений сводится к решению системы линейных уравнений с последующим сравнением. 2) Каждое следующее решение, находящееся с п

Свойства оптимальных управлений и оптимальных доходов
1) поглощающее состояние , а при любое состояние i есть состояние вынужденной остановки 2) для всех последовательность оптимальных значений полных ожидаемых доходов

Бесконечный горизонт управления
Согласно свойству 6), у оптимальных доходов при существует конечный предел, поэтому в рекуррентном соотношении можно перейти к пределу, предположив, что число оставшихся шагов может быть достаточно

Тема 8. Управление запасами при случайном потреблении.
– полный ожидаемый доход за шагов при оптимальном управлении, если мы находимся в состоянии i. Рекуррентное соотношение для полных ожидаемых доходов:

Тема 1. Управляемые случайные последовательности.
Рассмотрим сначала управляемый случайный процесс с дискретным временем. Это более простой вариант процесса, здесь проще и определение процесса, и постановка задачи, и ее решение. Пусть , - два изме

Тема 2. Оптимальное управление.
С т р а т е г и я у п р а в л е н и я. Для уточнения способа выбора управления приведем определение стратегии управления. Естественно считать, что управление не может зависеть от будущих состояний

Тема 3. Управляемые цепи Маркова. Уравнение Беллмана.
Как и в предыдущем параграфе, рассматриваем пространства - фазовое пространство процесса и - фазовое пространство управления. Управляемый процесс называется марковским ( управляемой цепью Маркова),

Тема 4. Оптимальная остановка цепи Маркова.
Рассмотрим цепь Маркова в фазовом пространстве с вероятностью перехода на n-ом шаге . Обозначим через реализацию этой цепи. Управление цепью состоит в выборе момента остановки цепи , стоимость упра

Ставок в игре.
{см. Дынкин, Ющкевич Управляемые марковские последовательности, глава 2, пар7} Пусть инвестор вкладывает имеющиеся средства как в рисковые активы (например, в акции) так и в безрисковые (н