Поставлена следующая задача: найти такое управление в модели (2), чтобы к моменту времени N капитал инвестора был максимальным.
Искать оптимальное управление будем методом, описанным в книге [1].
Перепишем (2) в виде:
(3)
Введем замену: , то есть в момент времени n капитал распределяется между реинвестированием и частичным потреблением. Получаем:
(4)
Для такого изменения капитала рассмотрим функцию полезности в виде ( означает склонность инвестора к риску, – инвестор не склонный к риску).
Согласно [1], пусть - это оценка модели на интервале . По формулам (5.10) и (5.14) запишем для такой оценки выражения:
(5)
где
(6)
Таким образом, исходная задача распадается на два этапа: сначала решается задача оптимального распределения средств между вложениями на банковский счет или вложениями в рисковые активы, а затем решается задача на определение оптимальных долей на потребление и реинвестирование.
Исследуя задачу (6) на максимум обычными средствами математического анализа, мы находим оптимальное долю вложения для случаев , и .
Обозначим
(7)
Эта функция непрерывна и достигает максимального значения в некоторой точке u* и
(8)
Рассмотрим 3 случая:
1й случай)
Тогда функция (8) выпукла вверх и положение u* зависит от знаков первых производных
(9)
Если
· Если
· Если (10)
· Если
и точка u* находится из уравнения
2й случай)
Функция (7) достигает наибольшего значения на концах отрезка [0,1], причем
(11)
3й случай)
Линейный случай.
(12)
Таким образом, для трех видов функции полезности мы нашли оптимальные доли распределения денежных средств между рисковым и безрисковым активами.
Исследуя задачу (5) на максимум обычными средствами математического анализа находим, что этот максимум достигается в точке и равен , где
, . (12)
Простая оптимальная стратегия получится, если мы определим как такое значение R, при котором достигается максимум в (5). Из модели (5) и формул (12) получаем:
(13)
где числа и находятся из соотношений:
, (14)
(15)
Из (14) видно, что если положить , то будет выполняться соотношение
Тогда
, при (16)
По формулам (14)-(15) числа и выражаются через как:
(17)
Уравнения (13),(17) дают решение задачи.