Основные понятия теории вероятностей. Случайное событие. Вероятность. Статистическая вероятность. Геометрическая вероятность. Основные формулы комбинаторики

1.Основные понятия теории вероятностей. Случайное событие. Вероятность. Статистическая вероятность. Геометрическая вероятность. Основные формулы комбинаторики.

Случайные события

Случайные события бывают 3-х видов:

1.Невозможные. Обозначение: V

2.Достоверные.

3.Случайные.

Невозможными называют события, которые никогда не произойдут при осуществлении некоторых совокупных условий.

Достоверные события – это события, которые всегда произойдут при осуществлении совокупных условий.

Случайное событие, называют, которое может произойти или не может произойти при осуществлении совокупных условий.

События обозначаются заглавными буквами латинского алфавита и т.д.

2 события А и В называются несовместные, если появление одного исключает появление другого. А-попадание В-промах

Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания произойдёт, хотя бы одно из них.

2 события называют равновозможными, если ни одно из них не является более возможным, чем другое.

Свойство вероятности

1. Вероятность достоверного события равна 1.

2. Вероятность невозможного события равна 0.

3.Вероятность случайного события удовлетворяет неравенству 0<P(A)<1

Статистическая вероятность

При статистическом определении в качестве вероятности события принимают его относительную частоту.

где m - число испытаний, в которых событие A наступило, n - общее число произведённых испытаний.

Определение вероятности события

P(A)=m/n, где m – число элементарных исходов испытания, благоприятствующих появлению… Геометрическое определение вероятности. Пусть отрезок l составляет часть отрезка L. На отрезке L наудачу поставлена…

Аксиомы вероятностей.

1. Вероятность любого события заключена между нулем и единицей: (1.1) 2. Если A и B несовместные события, то

Теорема сложения вероятностей

Р(А + В) = Р(А) + Р(В). Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных… Р(А1+А2+...+Аn) = P(A1) + Р(А2) +…+ Р(Аn).

Теорема умножения вероятностей

Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

Р(АВ) = Р(А)∙Р_A(В).

В частности, для независимых событий

P(АВ) = Р(А)∙Р(В),

т. е. вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

 

4. Повторение испытаний. Схема Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Лапласа.

Повторение испытаний

  где - вероятность появления события A ровно k раз при n независимых испытаниях; p - вероятность появления события A…

Формула Бернулли

где q = 1 – p. Вероятность того, что в n испытаниях событие наступит: а) менее m раз; б)… Pn(0) + Pn(1) +…+ Pn(m – 1);

Локальная и интегральная теорема Муавра-Лапласа

Здесь , ,

Формула полной вероятности

Вероятность события А, которое может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий (гипотез) H₁, H₂, …, H_n образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность события A:

где .

Формула Байеса

Пусть событие А может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий (гипотез) H₁, H₂, …,H_n, которые образуют полную группу событий. Если событие А уже произошло, то вероятности гипотез могут быть переоценены по формулам Байеса

где

 

6. Случайные величины. Закон распределения. Ряд распределения дискретной случайной величины. Смешанная случайная величина.

Определение и классификация случайных величин.

Под случайной величиной понимается величина, которая в результате опыта со случайным исходом принимает то или иное значение. Возможные значения случайной величины образуют множество Ξ, которое называется множеством возможных значений случайной величины. Обозначения случайной величины: X, Y, Z; возможные значения случайной величины: x, y, z.

В зависимости от вида множества Ξ случайные величины могут быть дискретными и недискретными. СВ Х называетсядискретной, если множество ее возможных значений Ξ – счетное или конечное. Если множество возможных значений СВ несчетно, то такая СВ является недискретной.

В теоретико-множественной трактовке основных понятий теории вероятностей случайная величина Х есть функция элементарного события: X=φ(ω), где ω – элементарное событие, принадлежащее пространству Ω. При этом множество Ξ возможных значений СВ Х состоит из всех значений, которые принимает функция φ(ω).

Законом распределения СВ называется любое правило (таблица, функция), позволяющее находить вероятности всевозможных событий, связанных со случайной величиной. (То есть, всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями СВ и их вероятностями.)

СВ будет полностью описана с вероятностной точки зрения, если мы зададим это распределение, т.е. в точности укажем, какой вероятностью обладает каждое событие. Про случайную величину мы будем говорить, что она подчинена данному закону распределения.

Ряд распределения дискретной случайной величины.

Ряд распределения записывается в виде таблицы: X x1 x2 … xn … P p1 p2 … Так как события {X=x1}, {X=x2}, … несовместны и образуют полную группу, то…

Смешанная случайная величина.

На тех участках, где F(x) непрерывна, вероятность каждого отдельного значения случайной величины равна нулю. Вероятность тех значений, где функция… 7. Функция распределения случайной величины и ее свойства. Функцией распределения вероятностей F(x) случайной величины Х в точке х называется вероятность того, что в результате…

Плотность распределения системы случайных величин.

Рассмотрим на плоскости x0y прямоугольник ΔRxy, примыкающий к точке (x,y), с размерами Δx, Δy и найдем вероятность попадания в него… . Будем неограниченно уменьшать оба размера прямоугольника Δx→∞, Δy→∞ и вычисляем…

Условные законы распределения системы случайных величин.

f(x/y) = f(x, y)/fу(y), fу (y)¹ 0; f(y/x) = f(x, y)/fх(x), fх (x)¹ 0. (10.17) ; .

Регрессия

Используя формулы для вычисления числовых характеристик случайных величин можно вычислить и условные числовые характеристики, заменив безусловные… и (11.13) Условное математическое ожидание СВ Y при заданном X=x: M[Y/x]=my/x называется регрессией Y на x; аналогично…

Числовые характеристики функции случайного аргумента.

Если Х – дискретная случайная величина и известен ее ряд распределения имеет вид: Xi x1 x2 … xn pi … Определяем вероятности появления различных значений случайной величины У … Тогда математическое ожидание случайной величины Y определяется так:

Теорема Хинчина 1

Пусть -- последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, у которых существует математическое ожидание: . Тогда

Закон больших чисел Бернулли.

Закон больших чисел в форме Бернулли состоит в следующем: с вероятностью,… иными словами, при неограниченном увеличении числа n опытов частота m/n события А сходится по вероятности к Р(А). …