Регрессия

Пусть (Х, У) – 2-мерная СВ с известным законом распределения F(X,Y) или f(x,y). Условным математическим ожиданием компоненты Х называется математическое ожидание СВ Х, вычисленное при условии, что СВ Y приняла определенное значение Y=y и обозначается М(Х/Y). Аналогично определяется условное математическое ожидание и для СВ Y.

Используя формулы для вычисления числовых характеристик случайных величин можно вычислить и условные числовые характеристики, заменив безусловные законы распределения на условные.

и (11.13)

Условное математическое ожидание СВ Y при заданном X=x: M[Y/x]=m_y/x называется регрессией Y на x; аналогично M[X/y]=m_x/y называется регрессией X на y. Графики этих зависимостей от x и y называются линиями регрессии или«кривыми регрессии».

Регрессионный анализ позволяет выявить характер связи между величинами. Представим СВ Y в виде линейной функции Х:

,

где a и b - неизвестные величины.

Теорема.Линейная средняя квадратическая регрессия Y на Х имеет вид

,

здесь - коэффициент регрессии Y на Х,

а прямую - называют прямой среднеквадратической регрессии Y на Х. Аналогично можно получить прямою среднеквадратической регрессии Х на Y.

Обе прямые проходят через точку (m_x, m_y), которую называют центром совместного распределения величин Х и Y.

 

16. Числовые характеристики функций случайных величин. Математическое ожидание и дисперсия. Теоремы о числовых характеристиках функций случайных величин.

Пусть некоторая случайная величина Х подвергается детерминированному преобразованию j, в результате которого получается величина У. Рассмотрим задачу определения числовых характеристик и закона распределения получаемой в результате преобразования случайной величины У.