Реферат Курсовая Конспект
Числовые характеристики функции случайного аргумента. - раздел Математика, Основные понятия теории вероятностей. Случайное событие. Вероятность. Статистическая вероятность. Геометрическая вероятность. Основные формулы комбинаторики Рассмотрим Случайную Величину Y, Зависящую Функционально От Случайно...
|
Рассмотрим случайную величину Y, зависящую функционально от случайной величины X с известным законом распределения F(x): Y=φ(X).
Если Х – дискретная случайная величина и известен ее ряд распределения имеет вид:
Xi | x1 | x2 | … | xn |
pi | p1 | p2 | … | pn |
Определяем вероятности появления различных значений случайной величины У
φ(X)i | φ(x1) | φ(x2) | … | φ(xn) |
pi | p1 | p2 | … | pn |
Тогда математическое ожидание случайной величины Y определяется так:
(9.1)
Если случайная величина X непрерывна и имеет плотность распределения f(x), то заменяя в формуле (9.1) вероятности piэлементом вероятности f(x)dx, а сумму – интегралом, получаем:
. (9.2)
Для смешанной случайной величины выражение для математического ожидания преобразуется к виду:
(9.3)
Соотношения (9.1), (9.2) и (9.3) – общее понятие математического ожидания, позволяющее вычислить математическое ожидание для неслучайных функций случайного аргумента. Например, дисперсия случайной величины Y=φ(x) определяется так:
Величину M[φ(x)] рассчитываем в соответствии с (9.1)-(9.3). Для определения математического ожидания квадрата φ(х) воспользуемся следующими соотношениями:
. (9.4)
Таким образом, для нахождения числовых характеристик функции Y=φ(x) достаточно знать закон распределения ее аргумента.
18. Законы распределения функций случайных величин. Функция одного и двух случайных аргументов.
Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.
Закон распределения прерывной случайной величины Х может быть задан в следующих формах:
• табличной;
• аналитической;
• графической.
Простейшей формой задания закона распределения прерывной случайной величины Х является таблица.
xi | x1 | x2 | … | xn |
pi | p1 | p2 | … | pn |
Такую таблицу называют рядом распределения случайной величины Х.
Чтобы придать ряду распределения более наглядный вид, часто прибегают к его графическому изображению.
Для непрерывной случайной величины такой характеристики построить нельзя!!!
Для непрерывной случайной величины удобно воспользоваться не вероятностью события Х=х, а вероятностью события Х<х, где х – некоторая текущая переменная. Вероятность этого события, очевидно, зависит от х и есть некоторая функция от х.
Эта функция называется функцией распределения случайной величины Х и обозначается F(х):
F(x) = P(X< x)
Функцию распределения F(x) называют также интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.
Функция распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения, т.е. является одной из форм закона распределения.
Сформулируем некоторые общие свойства функции распределения:
1.F(x) – неубывающая функция своего аргумента т.е. при x2 > x1 F(x2) > F(x1);
2. F(–∞) = 0;
3. F(+∞) = 1.
Функция одного случайного аргумента.
Если каждому возможному значению случайной величины Х соответствует одно возможное значение случайной величины Y, то Y называют функцией случайного аргумента X: Y=φ(X).
Рассмотрим случай, когда X- дискретная случ величина с возможными значениями x1…xn, вероятности которых p1…pn. Тогда Yтоже является дискретной случ величиной со всевозможными случ событиями: y=f(x1)…y=f(xn).
Т.к. событие «величина X примет значение xi» влечет за собой событие «величина Y примет значение f(xi)», то вероятности всевозможных значений Y соответственно равны p1…pn.
Мат ожидание случ величины будет рассчитываться: M(y)=M(f(x))=∑f(xi)pi.
При записи закона распределения вероятности y руководствуются следующими правилами:
1.
Если различным возможным значениям X соответствуют различные возможные значения Y, то вероятности соответствующих значений X и Y равны между собой: P(X=xi)=P(y=f(xi))=pi.
2.
Если различным возможным значениям Х соответствуют значения Y, среди которых есть равные между собой, то следует складывать вероятности повторяющихся значений Y.
Рассмотрим непрерывную случ величину Х, которая задана своей плотностью, если у=f(x) дифференцируемая монотонная функция, обратная функция которой x=φ(y), то плотность распределения случ величины y определяется след функцией: g(y)=f[φ(y)|φ’(y)].
Соответствующее мат ожидание:
Если отыскание ф-ии g(y) является затрудненным, то можно исп. след формулу:
.
.
26. Функция двух случайных аргументов.
Если каждой паре возможных значений случ величин X и Y соответствует одно возможное значение случайной величины Z, то Z называют функцией двух случ аргументов X и Y: Z=φ(X, Y).
1.
Пусть X и Y – дискретные независимые случ величины. Для того, чтобы составить закон распределения функции Z=X+Y, надо найти все возможные значения Z и их вероятности. Т.к. X и Y независимые случ величины, то zi=xi+yi, pz=px*py. Если zi=zj, то их вероятности складываются.
2.
Пусть X и Y – непрерывные случ величины. Доказано: если X и Y независимы, то плотность распределения g(z) суммы Z=X+Y (при условии, что плотность хотя бы одного из аргументов задана на интервале(-∞;∞) одной формулой) может быть найдена с помощью формулы:
, где f1, f2 – плотности распределения аргументов.
Если возможные значения аргументов неотрицательны, то g(z) находят по формуле:
Плотность распределения суммы независимых случ величин называют композицией, а закон распределения вероятностей называют устойчивым, если композиция таких законов есть тот же закон. M(z)=M(x)+M(y); D(z)=D(x)+D(y).
19. Закон больших чисел.
Закон Больших Чисел 1 Пусть -- последовательность независимых с.в. и выполнено условие . Тогда
Эту теорему называют еще законом больших чисел в форме Чебышева.
Следствие 5.1 Пусть -- последовательность независимых одинаково распределенных с.в. с конечной дисперсией: . Обозначим . Тогда
или, более кратко, при .
В действительности, это утверждение верно в более общей ситуации, а именно, предположение о существовании дисперсии не является необходимым. Имеет место так называемый закон больших чисел в форме Хинчина.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Случайные события... Случайные события бывают х видов... Невозможные Обозначение V Достоверные Случайные...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Числовые характеристики функции случайного аргумента.
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов