Плотность распределения системы случайных величин.

Двумерная величина (X,Y) является непрерывной, если ее функция распределения F(х,у) представляет собой непрерывную, дифференцируемою функцию по каждому из аргументов и существует вторая смешанная производная .

Рассмотрим на плоскости x0y прямоугольник ΔR_xy, примыкающий к точке (x,y), с размерами Δx, Δy и найдем вероятность попадания в него случайной точки (X,Y). Согласно (10.6)

.

Будем неограниченно уменьшать оба размера прямоугольника Δx→∞, Δy→∞ и вычисляем предел:

Совместной плотностью вероятности или плотностью совместного распределения называется функция

(10.11)

Плотность f(x,y) обладает следующими свойствами:

1. f(x,y)≥0;

2.

Геометрически совместная плотность f(x,y) системы двух случайных величин представляет собой некоторую поверхность распределения.

Аналогично вводится понятие элемента вероятности:.

Элемент вероятности с точностью до бесконечно малых величин равен вероятности попадания случайной точки (X,Y) в элементарный прямоугольник ΔR_xy, примыкающий к точке (x,y), с размерами Δx, Δy.

Аналогично тому, как было рассмотрено в случае одномерной случайной величины, определим вероятность попадания случайной точки (X,Y) в область D:

(10.12)

Функция распределения системы (X,Y) через совместную плотность определяется так:

. (10.13)

Совместная плотность распределения системы случайных величин (X,Y) позволяет вычислить одномерные законы распределения случайных величин X и Y :

; . (10.14)

Одномерные плотности распределения составляющих системы случайных величин называют маргинальными плотностями распределения.