Метод Гаусса

Метод Гаусса относится к точным методам, однако вычислительная ошибка присутствует всегда (ошибка округления и, возможно, ошибка исходных данных).

Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными:

Алгоритм состоит из двух этапов.

I. Прямой ход – приведение матрицы к треугольному виду (сверху вниз):

II. Обратный ход – определение неизвестных (снизу вверх).

Ручные вычисления по схеме единственного деления оформляют в виде таблицы с контролем вычислений, для чего в таблицу включены

· столбец контрольных сумм S,

· столбец сточных сумм S.

Контроль в прямом ходе:

· После внесения коэффициентов при неизвестных и свободных членов исходной системы находят контрольные суммы (суммы коэффициентов и свободных членов по строкам) и вносят их в столбец S.

· Далее, выполняя преобразования, над контрольными суммами производятся те же преобразования, что и над свободными членами.

· После выполнения каждого преобразования находят строчную сумму результатов и помещают ее в столбец S.

· При отсутствии вычислительных ошибок числа в столбцах S и S должны практически совпадать.

Контроль в обратном ходе:

При безошибочном выполнении вычислений в столбце S должны быть на единицу больше соответствующих значений неизвестных из столбца свободных членов

Рассмотрим примеры решения СЛУ методом Гаусса

Разделы x1 x2 x3 св чл сумма S
  3,25 14,52 -1,32 367,58 384,03  
  32,02 -4,36 5,73 516,91 550,3  
А 7,21 11,92 -41,46 -886,32 -908,65  
             
  4,4677 -0,4062 113,1015 118,1631 118,163
  -147,4158 18,7365 -3104,6000 -3233,2825 -3233,2793
  -20,2921 -38,5313 -1701,7818 -1760,606 -1760,6052
             
А1   -0,1271 21,0602 21,9331 21,9331
    -41,1104 -1274,4261 -1315,5373 -1315,5365
             
А2     31,0001 32,0001 32,0001
             
      31,0001 32,0001  
В   25,0003 26,0003  
  13,9999  

 

Невязки e1= 367,58 - 367,583899 = -0,003899
  e2= 516,91 - 516,906063 = 0,003937
  e3= -886,32 - -886,321291 = 0,001291