Решение СЛУ методом Зейделя

При решении СЛУ методом простой итерации каждый шаг итерационного процесса состоит в переходе от уже имеющегося приближения значений неизвестных к новому приближению.

Основная идея метода Зейделя состоит в том, что на каждом шаге итерационного процесса при вычислении значений y_i учитываются уже полученные значения y₁, y₂,…,y_i-1.

I. Условие α<1 является достаточным для сходимости итерационного процесса метода Зейделя. Причем метод Зейделя обеспечивает более быструю сходимость, чем метод простой итерации.

 

II. Рассмотрим практическую схему преобразования исходной СЛУ, гарантирующую сходимость метода Зейделя.

Пусть система записана в матричной форме: Ax=b.

Умножим левую и правую части слева на матрицу A^T: A^TAx= A^T b.

Обозначим : A^TA=C, A^T b=d.

Преобразованная система станет иметь вид: Cx=d. Такую систему называют нормальной:

· матрица C является симметричной;

· все элементы главной диагонали матрицы C положительны.

Нормальную систему легко привести к виду:

, где и .

Вычислительные формулы имеют вид:

Рассмотрим на примере.

После деления на диагональные элементы получим:

Рассмотрим решение системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными методом Зейделя (взяв в качестве метрики, используемой в программе, ).