Вычисление производной по определению

 

Вычисление производной по определению применяется, когда известно аналитическое выражение функции y=f(x).

Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки x₀ и имеет производную в этой точке, т.е. ,

Где Dx=x–x₀ ,

Dy=f(x₀+Dx) – f(x₀)

Значение производной функции y=f(x) в точке x₀ получим, рассматривая последовательность ,

где (Dx)₀ – некоторое начальное приращение аргумента;

a – некоторое число a>1;

n = 0, 1, …

Значение производной примет вид: ,

где , откуда получим: .

Оценим точность приближения.

Пусть функция y=f(x) имеет непрерывную производную до второго порядка включительно в окрестности точки x₀.

По формуле Тейлора ,

откуда ,

где – максимальное значение производной на (x, x₀).

Окончательно получим: , где

Для достижения заданной степени точности ε при вычислении производной можно использовать неравенство: и, соответственно, последний результат принимают в качестве производной функции, вычисленной в точке x с заданной степенью точности.

Блок-схема вычисления производной по определению: