В основе метода Эйлера лежит идея графического построения решения дифференциального уравнения, этот метод называется также методом ломаных Эйлера.
Угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в точке M0(x0,y0) равен .
Найдем ординату y1 касательной, соответствующей абсциссе x1=x0+h.
Уравнение касательной к кривой в точке M0 имеет вид или , откуда y1=y0+hf(x0,y0).
Аналогично, угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в точке M1(x1,y1) равен . Точку M2(x2,y2) получим соответственно
x2=x1+h y2=y1+hf(x1,y1).
Продолжая вычисления по данной схеме, получим формулы Эйлера для приближенного решения задачи Коши с начальными данными (x0,y0) на сетке отрезка [a, b] с шагом h:
xi=xi-1+h yi=yi-1+hf(xi-1,yi-1). (4)
|
|
Погрешность метода Эйлера можно оценить неравенством
, (5)
которое можно представить в виде d=Ch, где . Таким образом, метод Эйлера имеет первый порядок точности.
Практическую оценку погрешности решения, найденного на сетке с шагом h/2, в точке xiÎ[a, b] производят с помощью приближенного равенства – правила Рунге:
(6)
где P – порядок точности численного метода.
Таким образом, оценка полученного результата по правилу Рунге вынуждает проводить вычисления дважды: с шагом h и h/2, причем совпадение десятичных знаков в полученных двумя способами результатах дает основание считать их верными.
Блок-схема решения ДУ методом Эйлера |