Виды случайных событий - раздел Математика, «Теория вероятностей и математическая статистика» (пособие для учащихся) События,которые Никогда Не Могут Произойти НазываетсяНевозможными...
События,которые никогда не могут произойти называетсяневозможными.
События, которые происходят при каждом экспериментеназываютсядостоверными.
Пример 2.3. Событие А - «на игральном кубике выпадет 7 очков» — невозможное, а событие В – «на игральном кубике выпадет меньше семи очков» — достоверное. Разумеется, если речь идет о кубике, на гранях которого написаны числа от 1 до 6.
Два события называютсянесовместными, если они не могут произойти вместе при одном и том же испытании. В противном случае события называются совместными.
Пример 2.4. Несовместными являются попадание и промах при одном выстреле.
Два события называются противоположными, если появление одного из них равносильно непоявлению другого.
Если одно из противоположных событий обозначено буквой А, то другое обозначают 
.
Пример 2.5. Если событие А – «попадание», то событие 
– «промах» при одном выстреле
мишени.
Несколько событий в условиях данного опыта образуют полную группу событий, если в результате опыта произойдет обязательно хотя бы одно из них.
Пример 2.6. Учащемуся на экзамене достался билет с двумя теоретическими вопросами.
События А1 – «учащийся знает оба вопроса»,
А2 – «учащийся знает первый вопрос, но не знает второго»,
А3 – «учащийся знает второй вопрос, но не знает первого»,
А4 – «учащийся знает только один вопрос»,
А5 – «учащийся не знает ни одного вопроса» образуют полную систему событий, среди которых имеются как несовместные А1 и А2, А1 и А5 и другие, так и совместные А2 и А4, А3 и А4.
Различают события элементарные и составные.
Так, в примере 2.6 событие А4 является составным событием из А2 и А3, поэтому событие А4 наступит только в результате наступления либо только элементарного события А2, либо только элементарного события А3. В таком случае говорят, что событие А4 разлагается на элементарные события А2 и А3, и пишут А4 = {А2, А3}.
События называются равновозможными, если условия испытания обеспечивают одинаковую возможность осуществления каждого из них.
Пример 2.7. При подбрасывании монеты событие А – «появление орла» и событие В – «появление решки» равновозможны, так как предполагается, что монета изготовлена из однородного материала, имеет правильную цилиндрическую форму и наличие чеканки не влияет на то, какая сторона монеты окажется верхней.
Все темы данного раздела:
В.П. Кошелева
«Теория вероятностей и
математическая статистика»
(пособие для учащихся)
Правила комбинаторики
Подсчитать общее число возможных комбинаций помогает одно из важнейших правил комбинаторики — правило умножения: если первый элемент в комбинации можно выбрать m способами, посл
Перестановки
Перестановки– комбинации из n элементов, которые отличаются друг от друга только порядком элементов. Общее число перестановок из n элементов обозначается
Размещения
Размещения – комбинации из n элементов по m элементов, которые отличаются друг от друга или самими элементами или их порядком.
Размещения обозначаются
Сочетания
Сочетания– все возможные комбинации из n элементов по m элементов, которые отличаются друг от друга по крайней мере хотя бы одним элементом.
Сочетания обозна
Всякий результат опыта называется событием.
Событие называется случайным, если при одних и тех же условиях оно может как произойти, так и не произойти. Вместо "произойти" говорят также "наступ
Геометрическое определение вероятности
В предыдущем пункте мы научились вычислять вероятности событий в опытах, имеющих конечное число равновозможных исходов. Для этого не требуется проводить никаких экспериментов — нужно всего лишь пра
Теоремы сложения и умножения вероятностей.
Теорема сложения вероятностей двух событий. Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:
Р(А+В)
Формула Бернулли
Если производится несколько испытаний, причем вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно с
Локальная теорема Лапласа
Пользоваться формулой Бернулли при больших значениях п достаточно трудно, так как формула требует выполнения действий над громадными числами.
Например, если п = 50, k
Интегральная теорема Лапласа
Предположим, что производится п испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р (0 < р < 1). Как вычислить вероятность
Понятие случайной величины
Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не м
Виды случайных величин.
В примере 4.2 случайная величина X могла принять одно из следующих возможных значений: 0, 1, 2, . . ., 100. Эти значения отделены одно от другого промежутками, в которых нет возможных значен
Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины
На первый взгляд может показаться, что для задания дискретной случайной величины достаточно перечислить все ее возможные значения. В действительности это не так: случайные величины могут иметь один
Функция распределения.
Функция распределенияслучайной величины – это функция действительн
Математическое ожидание случайной величины
Как уже известно, закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако часто закон распределения неизвестен и приходится ограничиваться меньшими сведениями. Иногда даже выгоднее п
Дисперсия случайной величины. Среднее квадратическое отклонение
Мы рассмотрели число, которое характеризует поведение случайной величины в среднем. Но среднее значение далеко не всегда дает даже общее представление о поведении случайной величины.
Есть
Биноминальное распределение
Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться либо не появиться. Вероятность наступления события во всех испытаниях постоянна и равна р
Распределение Пуассона.
Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться либо не появиться. Вероятность наступления события во всех испытаниях постоянна и равна р
Равномерное распределение
Распределение вероятностей случайной величины Х называется равномерным на отрезке , если плотность вероятности равна
Нормальное распределение.
Распределение с непрерывной случайной величины называется нормальным, если плотность распределения ее описывается формулой:
Понятие о системе нескольких случайных величин
До сих пор рассматривались случайные величины, возможные значения которых определялись одним числом. Такие величины называют одномерными.
Кроме одно
Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины
Законом распределения дискретной двумерной случайной величины называют перечень возможных значений этой величины, т. е. пар чисел (хi, yj) и их вероятно
Плотность непрерывной двумерной случайной величины
Двумерная случайная величина задавалась с помощью функции распределения. Непрерывную двумерную величину можно также задать, пользуясь плотностью распределения.
Будем предполагать, что функ
Числовые характеристики непрерывной системы двух случайных величин
Зная плотности распределения составляющих Х и У непрерывной двумерной случайной величины (X, У), можно найти их математические ожидания и дисперсии:
Предмет математической статистики
Математическая статистика — это раздел математики, посвященный методам сбора, анализа и обработки статистических данных для научных и практических целей.
Математическая ст
Первичная обработка выборок. Генеральная совокупность и выборка
Пусть требуется изучить совокупность однородных объектов относительно некоторого качественного или количественного признака, характеризующего эти объекты.
Пример 7.1. Если имеется п
Основные виды выборок
При составлении выборки можно поступать двумя способами: после того как объект отобран и над ним произведено наблюдение, он может быть возвращен либо не возвращен в генеральную совокупность. В соот
Способы отбора
На практике применяются различные способы отбора. Принципиально эти способы можно подразделить на два вида:
1. Отбор, не требующий расчленения генеральной совокупности на части.
Вариационный ряд
Основная форма представления выборочной совокупности – вариационные ряды.
Пусть посредством независимых испытаний, проведенных в одинаковых условиях, получены числовые зна
Полигон частот
Полигон частот образуется ломаной линией, соединяющей точки, соответствующие срединным значениям интервалов группировки и частотам этих интервалов, срединные значения откладываются
Эмпирическая функция распределения
Эмпирической функцией распределения называется функция F*(х), определяющая для каждого значения х относительную частоту события X < х, т.е. по определению
Среднее арифметическое
Среднее арифметическое, или просто среднее, — одна из основных характеристик выборки.
Среднее арифметическое – такое значение признака, сумма отклонений от которого выборо
Медиана
Медианой (Ме) называется такое значение признака X, когда ровно половина значений экспериментальных данных меньше ее, а вторая половина — больше.
Если данных
Дисперсия и стандартное отклонение
Дисперсией называется средний квадрат отклонения значений признака от среднего арифметического. Дисперсия, вычисляемая по выборочным данным, называется выборочной дисперсие
Коэффициент вариации
Стандартное отклонение выражается в тех же единицах измерения, что и характеризуемый им признак. Если требуется сравнить между собой степень варьирования признаков, выраженных в разных единицах изм
Коэффициент осцилляции
С целью, аналогичной введению коэффициента вариации, вводитсякоэффициент осцилляции по формуле:
Теория оценок
8.1. Статистические оценки параметров распределения.
8.2.Несмещенные, эффективные и состоятельные оценки.
8.3. Точность оценки, доверительная вероятность (надежнос
Несмещенные, эффективные и состоятельные оценки
Для того чтобы статистические оценки давали «хорошие» приближения оцениваемых параметров, они должны удовлетворять определенным требованиям.
Пусть
Доверительный интервал
Точечной называют оценку, которая определяется одним числом.
При выборке малого объема точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра, т. е. привод
Доверительные интервалы для оценки математического ожидания
нормального распределения при известном .
Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределен норм
Нулевая и конкурирующая, простая и сложная гипотезы
Часто необходимо знать закон распределения генеральной совокупности. Если закон распределения неизвестен, но имеются основания предположить, что он имеет определенный вид (назовем его А), вы
Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей
По независимым выборкам, объемы которых и , извлеченным из нормальных генеральных с
Новости и инфо для студентов