Физические основы исследуемых процессов

Физические основы исследуемых процессов. Электрический колебательный контур. Рассмотрим электрический колебательный контур, состоящий, в общем случае, из конденсатора C, катушки индуктивности L и сопротивления нагрузки R см. рис.1 . Процессы происходящие в такой системе описываются дифференциальным уравнением вида Ф- d520q 7 0 dq 27d 0 7 w40520q 0 1.1.1 dt520 7 0 dt где R 1 dq 27d 0 7 0 7 w40520 I L LC dt Начальные условия q q400 I I400. t 0 4 0 t 0 Энергия колебательного контура определяется выражением q520 LI52 W 1.1.2 2C 2 Это обыкновенное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Колебания, описываемые линейными дифференциальными уравнениями, называются линейными колебаниями, а соответствующие колебательные системы - линейными системами. Уравнение 1.1.1 имеет следующие решения 18 Ф- 7 1 7 w400 7d4 ,7 W0 7? w40527 0 7d520 - слабое затухание 4-7в4t7 0 7d q e 4 0 A Cos 7W0t B Sin 7W0t A q400 B q40 7W 4-7в4t0 4-7в4t q -7d0e 4 0 A Cos 7W0t B Sin 7W0t e 4 0 A7W0Cos 7W0t B7W0Sin 7W0t 7 7 0 7d524 -7в4t q q407 0 1 e7 0Cos 7W0t-7f400 1.1.3 7?0 7W52 7d где tg7f400 - сдвиг фаз 7W 7 0 7d520 7 4-7в4t I q407 01 7 0 780 7W0e7 0Sin 7W0t 1.1.4 79 0 7W520 70 Частный случай R 0 и 7d0 0 гармонические колебания q q400Cos 7w400t 1.1.5 I q407w400Sin 7w400t 1.1.6 2 Критический режим 7 цw400 7d 1 R520 4L 5 0 R520 LC 4L520 C 4-7в4t q q400e7 0 7d0t 1 1.1.7 4-7в4t I q400e7 d520t 1.1.8 3 Сильное затухание q527 0 7 0 -7d0 7W0 t 7 0 7 0 -7d0-7W0 t7 q 7 0 7W0 7d0 e7 0 7 0 7W0 - 7d0 e7 0 7 0 7 80 1.1.9 27W 9 0 70 q527w40520 7 0 -7d0 7W0 t 7 0 -7d0-7W0 t7 I 7 0e7 0 7 0 e7 0 7 0 7 80 1.1.10 27W 0 79 0 70 ш2.0 На рис. 12 показаны зависимости q t , I t , W t, причем на последней хорошо заметно плато соответствующие нулевому току, при котором в системе не происходит потерь энергии. 1 11.2 Опыт Милликена по определению заряда электрона.

Роберт Эндрюс Милликен 1868-1953 - американский физик с 1924 года член-корреспондент АН СССР . Получил широкую известность за ряд опытов, направленных на установление дискретности электрического заряда и определение заряда электрона с высокой точностью.

За эту работу в 1923 году удостоен Нобелевской премии.

Также известны его работы, направленные на экспериментальное подтверждение квантовой теории фотоэффекта А.Эйнштейна и работы по определению численного значения постоянной Планка.

Классические опыты Милликена направлены на прямое доказательство дискретности электрического заряда и определение элементарного электрического заряда. Экспериментальный метод, примененный Милликеном, заключался в непосредственном измерении заряда очень маленьких капелек масла 14,19 . Представим себе такую капельку между обкладками горизонтально расположенного конденсатора рис.2 . Если к пластинам конденсатора не приложено напряжение, то капля будет свободно падать.

Вследствие малых размеров капля будет падать равномерно, так как ее вес уравновешивается силой сопротивления воздуха, определяемой законом Стокса, и силой Архимеда. 76 6 6 F4st0 G F4арх0 0 1.2.1 F4st0 G-F4арх0 1.2.2 F4st0 67ph0aV4G0, 1.2.3 G-F4aрх0 37p0a530 7r4k0-7r0 g 4, 1.2.4 где a-радиус капли, 7h0-вязкость газа, V4G0-скорость свободного падения капли,7r4k0-плотность капли, 7r0-плотность газа. Представим себе теперь, что к пластинам конденсатора приложено напряжение, величина и знак которого подобраны так, чтобы капелька под действием электрического поля поднималась вверх.

Если через V4Е 0обозначить скорость этого подъема, то можно записать Еq-mg 67ph0aV4E0 1.2.5 где Е - напряженность поля внутри конденсатора. Ионизируя воздух между пластинами конденсатора например, при помощи рентгеновских лучей, можно изменить заряд капли. Если при этом величину напряженности поля оставить прежней, то скорость капли изменится и станет равной V4E10. Продолжая эти рассуждения, можно получить формулу для разности зарядов q-заряд до облучения, q410-заряд после облучения 1.0 7p0 2V4G7h530 51 2 7D0q q-q410 9 V4E0-V4E10 1.2.6 E 7r4k0-7r0 g 51 2 Облучая каплю несколько раз и меняя напряжение, Милликен проводил с одной каплей много опытов.

Измеряя скорости падения и подъема капли, экспериментатор рассчитал заряд электрона, который по его данным оказался равным e 4.805 105-10 0СГСЭ. Схема установки Милликена приведена на рис. 3 11,19 . Проведем строгое решение задачи о движении заряженной частицы в электрическом поле в вязкой среде.

Данное движение рис.2 описывается следующим уравнением 76 dV 760 7 60 760 7 0 76 m F4арх0 G F4сопр0 F4электр 0 1.2.7 dt dV4x m - F4арх0 G F4сопр0 - F4электр0 1.2.8 dt 760 7 6 где F4электр0 qE - сила, действующая на заряженную частицу в электрическом поле с напряженностью E, причем E4x0 7 0 U d ,7 0U - напряжение между обкладками конденсатора d - расстояние между обкладками конденсатора F4сопр-0определяется по закону Стокса 1.2.3 , G mg - сила тяжести После подстановки и преобразований получим dVx 67ph0а Gx F4арх0 4 0qE4x Vx - 1.2.9 dt m m m m Введем обозначения 97h0 7r0 7 03qE4x 7a0 1.2.10 7b0 g 1- 1.2.11 7g0 1.2.12 27r4k0а520 7r4k0 47r4k7p0a53 получим dVx 7a0Vx 7b0 7g0 1.2.13 dt 4-7a0t 7b 0 7 g Общее решение этого уравнения V4x7 0 7 0const e 7 0 1.2.14 7a используя начальное условие 7b0 7g0 7b0 7g Vx V400 4 0V400 const 7 0 const V400 - 1.2.15 t 0 7 0 7a 0 7 0 7a имеем 7 0 7b0 7g0 7 0 4-7a0t 7b0 7g V4x0 4 0 720 V400 - 720 e4 0 1.2.16 7 0 7a 0 7 0 7a 4x0 4t 7!0 7! так как 724 0dx 7 20 V4x0 dt 1.2.17 и x 0 получим 710 710 t 0 5x400 50 1 7 0 7 b 0 7g0 7 4 0 4-7a4t0 7 0 7 b 0 7 g 0 7 x - 7 0V407 0-7 0 7 80 e 7 0 7 80 t 1.2.18 7a 9 0 7a0 70 0 7 90 7 a 0 7 0 Для создания демонстрационной программы удобнее использовать формулу не для x, а для 7D0x , 1 7 0 7b 0 7g 0 7 0 4-7a4t0 7 0 7 b 0 7 g 7D0x x-x400 72 0V40 0- 7220 1 - e 720 t 1.2.19 7a0 7 0 7 a0 7 0 7 0 7 a При q410 n410e 76 g410 7a0V41x0-7a0V40x0, а при q420 n420e 76 g420 7a0V42x0-7a0V40x0 1.2.20 , где V40x0-скорость падения капли до облучения и без напряжения, V41x0-скорость падения капли до облучения при наличии поля, V42x0-скорость капли после облучения при наличии поля. Разделив 1.2.20 друг на друга получим 7g410 V41x0 - V40x0 q41 4 0 4 0 1.2.21 7g420 V42x0 - V40x0 q42 ш2.0 Определив из формулы 1.2.16 значения для V40x0,V41x0,V42x 0и подставив их в 1.2.21 можно получить отношение q41 0 к q42 0и если оно равно отношению целых чисел то мы вправе утверждать, что оба заряда кратны одному и тому же значению - элементарному электрическому заряду, который по современным данным равен e 1.6021892 105-19 0Кл. 1 11.3 Скин эффект в цилиндрической геометрии.

Скин-эффект от англ. skin-кожа - это явление затухания электромагнитных волн по мере их проникновения в проводящую среду. Переменное во времени электрическое поле3 0и связанное с ним магнитное поле не проникают в глубь проводника, а сосредоточены большей частью в относительно тонком приповерхностном слое толщиной7 d0, называемом1 глубиной скин-слоя0. Происхождение скин-эффекта объясняется тем, что под действием внешнего переменного поля в проводнике свободные электроны создают токи, поле которых компенсирует внешние поле в объеме проводника.

Скин-эффект проявляется у металлов, в плазме и в других средах с достаточно большой проводимостью 12,15 . Глубина скин-слоя существенно зависит от проводимости 7s0, циклической частоты электромагнитного поля7 w0, от состояния поверхности.

На малых частотах7 d0 велика, убывает с ростом частоты и для металлов на частотах оптического диапазона оказывается сравнимой с длинной волны7 l 0105-50 см. При еще больших частотах, превышающих плазменную частоту0, в проводниках оказывается возможным распространение электромагнитных волн. Их затухание определяется как внутризонными, так и межзонными электронными переходами. Теоретическое описание скин-эффекта сводится к решению кинетического уравнения для носителей заряда с целью определения связи тока с полем и последующему решению уравнений Максвелла.

Наиболее просто описывается нормальный скин-эффект, который имеет место, когда7 d0 велика по сравнению с эффективной длиной7 0 пробега электронов.

Величина l определяется расстоянием, проходимым электроном за время7 t0 между двумя актами рассеяния 7t0-время релаксации либо за период поля 1 7w0 в зависимости от того, какая из этих величин меньше.

В общем случае v l , 1.3.1 7t5-10-i7w где v-скорость электрона.

Известно 3 вида скин-эффекта нормальный, аномальный и нелинейный.

В случае аномального скин-эффекта происходит рассмотрение ситуации, когда l 7 d0 он наблюдается в СВЧ-диапазоне в чистых металлах при низких температурах. При достаточно высоких значениях напряженности электромагнитного поля, когда параметры среды, например проводимость7 d0, начинают зависеть от поля, скин-эффект становится нелинейным, т.е. толщина скин-слоя7 d0 также начинает зависеть от интенсивности электромагнитного поля. Подробно рассмотрим распределение плотности тока по сечению проводника, в котором течет отличный от нуля полный переменный ток, т.е. нормальный скин-эффект. Точное решение зависит, вообще говоря, не только от формы проводника, но и от способа возбуждения в нем тока, т.е. от характера внешнего переменного магнитного поля, индуцирующего ток. Есть однако важный случай, когда распределение тока можно считать независящим от способа его возбуждения.

Это ток в тонком проводе, толщина которого мала по сравнению с его длиной.

При вычислении распределения тока по сечению тонкого провода будем считать последний прямолинейным. При этом электрическое поле параллельно оси провода, а вектор напряженности магнитного поля лежит в плоскости перпендикулярной к оси провода 12 . Рассмотрим провод кругового сечения. Этот случай особенно прост в связи с тем, что вид поля провода заранее ясен. Действительно, в силу симметрии на поверхности провода вектор напряженности электрического поля зависит только от времени.

Но при таком граничном условии уравнения 76 6 div E 0 и rot E 07 0 7 0 1.3.2 76 в пространстве вне провода имеет лишь решение E const7 0не зависящие от пространственных координат во всем пространстве. Отсюда следует, что магнитное поле вокруг провода будет таким же, каким оно было бы вокруг провода с постоянным током, равным данному мгновенному значению переменного тока. 15 Итак пусть имеется очень длинный проводник радиуса R. Используя уравнения Максвелла и выражение для rot в цилиндрической системе координат 760 7 0 4 7 760 7ч0B7ы0 76 2017 0 7ч0E4z 7ч0E7f4 726 2 ч0E4r7 ч0E4z726 rotE rotE 720-7 0 4 0-4 720e4r0 720 4 0 720e7f0 7ч0t 7 20r7 0 7чf0 4 7ч0z4 72 2 ч0z7 0 7 ч0r7 2 1.3.3 7 90 4 70 9 0 760 760 76 ч0D 7 0 7 rotH j 7 2017 ч0 rE7f0 7 017 ч0E4z7 26 7ч0t7я0 7 0 720-7 0 7 0-4 0-7 0 720e4z0 1.3.4 1.3.5 7 20r 7 ч0r7 0r7 чf 2 Закон Ома 7 9 0 7 0 760 760 j 7s0E 7 0 4 7 1.3.6 76 2017 0 7ч0H4z 7ч0H7f4 726 2 ч0H4r7 ч0H4z726 rotH 720-7 0 4 0-4 720e4r0 720 4 0 720e7f0 Материальные урав- 7 20r7 0 7чf0 4 7ч0z4 72 2 ч0z7 0 7 ч0r7 2 нения 7 90 4 70 9 0 76 60 7 0 7 0 7 D 7ee400E 720 1.4.7 72017 ч0 rH7f0 7 017 ч0H4z7 26 760 760 720 7 0 720-7 0 7 0-4 0-7 0 720e4z0 1.3.8 B 7mm400H 700 7 20r 7 ч0r7 0r7 чf 2 79 0 7 0 76 0 7 6 76 ч0H 760 76 ч0E rotE -7mm40 0 1.3.9 rotH 7s0E 7ee40 0 1.3.10 7ч0t7 0 7 ч0t 7ч Из симметрии задачи видно, что 0 , тогда получим 7чf 7ч0E7f ч0H4r7 0 7 ч0H7f 4 7 ч0E4r - -7mm400 1.3.11 - 7s0E4r 7ee400 1.3.12 7ч0z7 ч0t7 0 7 ч0z7 4 7 ч0t 7ч0E4r0 7ч0E4z0 7ч0H7f0 7 ч0H4z0 7 ч0H4z0 7ч0E7f - -7mm400 1.2.13 - 7s0E7f0 7ee400 1.3.14 7ч0z 7ч0r 4 7ч0t 7 ч0z 7 ч0r 7ч0t 1 7ч0 rE7f0 7ч0H4z0 7 01 7ч0 rH7f0 7 0 7ч0E4z - -7mm400 1.3.15 - 7s0E4z0 7ee400 1.3.16 r 7ч0r 7ч0t 7 0r 7ч0r7 0 7ч0t Очевидно, что эти 6 уравнений распадаются на 2 системы ш1.0 17 ч0 rH7f0 7 ч0E4z0 7 0 1 7ч0 rE7f0 7ч0H4z7 - 7s0E4z0 7ee400 а 720 - -7mm400 7 2 r 7 0 7ч0r7 ч0t 720 r 7ч0r 7ч0t7 2 720 7 2 7ч0E4r0 7ч0E4z0 7ч0H7f0 720 7ч0H4z0 7 ч0H4z0 7ч0E7f 2 - -7mm400 б 780 1 - 7s0E7f0 7ee400 7 80 2 7ч0z 7ч0r 4 7ч0t 720 7ч0z 7 ч0r 7ч0t7 2 720 7 2 7чHf0 7 4 7ч0Er 720 7ч0E4z7 ч0H4r7 2 - 7s0E4r 7ee400 в 720 - -7mm400 7 2 7ч0z7 0 7 4 7ч0t 700 7ч0z7 ч0t7 0 С компонентами E4z0,H7f0,E4r0 эта сис- С компонентами H4z0,E7f0,H4r0 эта система описывает скин-эффект. тема описывает вихревые токи. Будем рассматривать только первую систему, описывающую скин-эффект.

Очевидно, что если в каком либо месте проводника поле периодически меняется во времени, то оно будет периодически меняться и во всех остальных точках проводника.

При отыскании периодических решений системы 1 вместо синуса или косинуса удобно пользоваться комплексной показательной функцией, а затем с помощью известной формулы Эйлера 4i7ф e4 0cos7a0 isin7a0 1.3.17 перейти к вещественной форме решения.

Кроме того отметим, что уравнения в системе 1 линейны и однородны и следовательно для них выполняется принцип суперпозиции сумма произвольного числа решений уравнения сама является решением того же уравнения.

Ищем решение системы 1 в виде i7w0t 7 ч E4z0 E4z0 r e i7w 2 i7w0t 7 0 7 ч0t7 20 1.3.18 H7f0 H7f0 r e7 ч 2 i7w0t -ik4z7 2 E4r0 E4r0 r e7 ч0z7 0 Положим k4z0 0 так, как мы ищем колебательное решения, а не волновое.

Кроме того считаем, что7 s e407ew0 поэтому7 e0 0. Тогда ik4z0H7f0 7s0E4r0 E4r0 0 1.3.19 7s 0 7 ч0E4z 7ч0E4z7я0 H7f0 1.3.22 i7mm407w0H7f0 1.3.20 i7mm407ws 0 7ч0r 7ч0r 7ч0H7f0 1 - H7f0 7 s0E4z0 1.2.21 7ч0r r 7ч520E4z7ы 01 7ч0E4z - 4 0- i7mm407ws0E4z0 0 1.3.23 7ч0r520 r 7ч0r Рассмотрим 2 возможных случая 1 Снаружи проводника. 7s0 0 7ч520E4z0 7 017 ч0E4z0 17 ч0 7ч0E4z0 7 ч0E4z - 0 - r 0 r const41 7ч0r527 0r7 ч0r r7 ч0r 7 0 7ч0r 7 ч0r 7ч0E4z0 const417 !0 const41 4 0 E4z0 720 dr 1.3.24 7ч0r7к0 r7 10 r E4z0 const410ln r const420 1.3.25 Т.к. при r76 0 поле не может бесконечно возрастать const410 0, следовательно E const420 т.е. не зависит от пространственных координат вокруг проводника. 2 Внутри проводника 7ч520E4z7ы 01 7ч0E4z - 4 0-i7mm407ws0E4z0 0 1.3.26 7ч0r520 r 7ч0r Очевидны граничные условия I E4z0 E4z0 и H7f0 H7f0 r R r R r R r R 27p0R 1.3.27 Таким образом мы получили уравнение 7ч520E4z7 017 ч0E4z - 4 0 k520E4z0 0 1.3.28 7ч0r527 0r7 ч0r где k520 -i7mm407ws 7ы0 1 7ч0E4z H7f0 1.3.29 i7mm407w0 7ч0r Это хорошо известное уравнение Бесселя решение которого записывается в виде комбинации функций Бесселя и Неймана или Вебера 8,18 E4z0 r AJ400 kr BN400 k410r 1.3.30 Однако N400 x 76 0при x7600 , поэтому мы вынуждены отбросить это решение и окончательно записать E4z0 r AJ400 kr 1.3.31 Или общее решение i7w0t E r, z,t AJ kr e 1.3.32 7 0 1-i 7 0 1-i 1 1-i7 0 7 0 7 т.к.7?0-i k 7?mm407ws5 0 k - 7d0 1 7?mm407ws 7 7?0 2 7 ? 027 0 7d0 7 ? 02 7d0 - глубина проникновения. Как известно, расчет значений функции Бесселя комплексного аргумента представляет собой достаточно сложную вычислительную задачу.

Кроме того данное решение не обладает достаточной степенью наглядности.

Вместе с тем хорошо известно, что уравнение вида 7ч520E4z7 017 ч0E4z - 4 0- i7l520E4z0 0 1.3.33 7ч0r527 0r7 ч0r 7l520 7mm407ws0 7 l0 1 7d имеет решение в виде комбинации функций Кельвина E4z0 A ber400 7l0r ibei400 7l0r B ker400 7l0r kei400 7l0r 1.3.34 Причем функции ker400 7l0r и kei400 7l0r мы должны отбросить по тем же соображениям, что и функции Неймана в предыдущем решении.

Это же легко подтвердить из следующих соображений 7 0 -i7p0 4 1-i 7?027 0 e 1.3.35 Тогда согласно 8 получим -i7p0 4 ber400 7l0r ibei400 7l0r I400 7l0re 1.3.36 Очевидно, что ber400 7l0r Re I400 7l0r 1-i 251 20 1.3.37 bei400 7l0r Jm I400 7l0r 1-i 251 20 1.3.38 Очевидно, что общее решение будет иметь вид i7w0t E4z0 r, t,z A ber400 r 7d0 ibei400 r 7d0 e 1.3.39 Преобразуем последнее выражение E4z0 r, t,z A ber400 r 7d0 ibei400 r 7d0 cos 7w0t-k4z0z isin 7w0t A ber400 r 7d0 cos 7w0t -ibei400 r 7d0 sin 7w0t i ber400 r 7d0 cos 7w0t ibei400 r 7d0 sin 7w0t 7 A ber400 r 7d0 520 7?0bei400 r 7d0 527 0cos 7w0t 7f0 7 0 i ber400 r 7d0 520 7?0bei400 r 7d0 520 sin 7w0t 7f0 1.3.40 bei400 r 7d0 где tg7f0 ber400 r 7d0 7 E4z0 A ber400 r 7d0 520 7?0bei400 r 7d0 520 cos 7w0t 7f0 isin 7w0t 7f0 1.3.41 Далее необходимо перейти к вещественной форме решения, так как только такие решения имеют физический смысл.

Как было показано выше всякое комплексное решение эквивалентно двум вещественным решениям. 7 E4z10 A ber400 r 7d0 520 7?0bei400 r 7d0 520cos 7w0t 7f0 1.3.42 7 E4z20 A ber400 r 7d0 520 7?0bei400 r 7d0 520sin 7w0t 7f0 1.3.43 7 где7 f0 - определяется выше, а 7d0 1 7?mm407ws Оба решения одинаковы так как от функции синуса всегда можно перейти к косинусу путем изменения начала отсчета времени.

Окончательно получим E4z0 A ber400 r 7d0 520 bei400 r 7d0 520 51 20cos 7w0t 7f0 1.3.44 bei400 r 7d0 7 0 7 0 где7 f0 arctg 7d0 1 7?mm407ws0 7 w0 27pn0 ber400 r 7d0 7n0 - частота переменного тока 7m0 - магнитная проницаемость проводника 7m400 47p0 105-70 Гн м - магнитная постоянная 7s0 - проводимость проводника Постоянную A можно определить зная полный ток в любой момент времени ш1.07 4R R 7 I t 720jdS 72s0E4z027p0rdr 27ps20E4z0 r, t rdr 1.3.45 71 1 1 50 0 7 Графики функций ber400 x, bei400 x ,7?0 ber400 r 7d0 520 bei400 r 7d0 520 , 7f0 x в приложении на рис. 4,5 . При высоких частотах. x 1 7 ber x 7?027p0x7 0exp x 7? 02 cos x 7? 02 -7p0 8 1.3.46 7 ber x 7?027p0x7 0exp x 7? 02 sin x 7? 02 -7p0 8 1.3.47 Тогда x r 7d 7 E4z0 r, t A 27p0x 5-10exp 2x 7? 02 cos520 x 7? 02 -7p0 8 7 0 7 0 5 27p0x 5-10exp 2x 7? 02 sin520 x 7? 02 -7p0 8 5 0cos 7w0t 7f0 1.3.48 5 7 7?027p0x7 0sin x 7? 02 -7p0 8 7 7f0 arctg arctg tg x 7? 02 -7p0 8 1.3.49 7 7?027p0x7 0cos x 7? 02 -7p0 8 7 7f0 x 7? 02 -7p0 8 E4z0 r, t A 27p0r 7d0 5-1 20exp r 7d0251 20 cos 7w0t r 7d0251 20 -7p0 8 1.3.50 ш2.0 При малых частотах. x7600 ber x 7 01 bei x 7 0x520 4 tg7f 0x520 47 f Тогда E4z0 r, t A 1 x540 16 51 20cos 7w0t x520 4 1.3.51 1 1.4