Типы задач для обыкновенных дифференциальных уравнений

Типы задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Обыкновенные дифференциальные уравнения далее ОДУ широко используются для математического моделирования процессов и явлений в различных областях науки и техники.

В дифференциальное уравнение n-го порядка в качестве неизвестных величин входят функция y x и ее первые n производных по аргументу x 7f0 x, y,y, y5 n 0 0. 2.1.1 Из теории ОДУ известно, что уравнение 2.1.1 эквивалентно системе n уравнений первого порядка 7f4k0 x, y410,y 410,y420,y 420, ,y4n0,y 4n0 0, 2.1.2 где k 1,2, ,n. Уравнение 2.1.1 и эквивалентная ему система 2.1.2 имеют бесконечное множество решений.

Единственные решения выделяют с помощью дополнительных условий, которым должны удовлетворять искомые решения.

В зависимости от вида таких условий рассматриваются три типа задач, для которых доказано существование и единственность решений.

Первый тип - это задачи Коши, или задачи с начальными условиями.

Для таких задач кроме исходного уравнения 2.1.1 в некоторой точке x400 должны быть заданы начальные условия, т.е. значения функции y x и ее производных y x400 y400 y x400 y4100, ,y5 n-1 0 x400 y4n-1,00. 2.1.3 Для системы ОДУ типа 2.1.2 начальные условия задаются в виде y410 x400 y4100 y420 x400 y4200, ,y4n0 x400 y4n00. 2.1.4 Ко второму типу задач относятся так называемые граничные, или краевые задачи, в которых дополнительные условия задаются в виде функциональных соотношений между искомыми решениями.

Количество условий должно совпадать с порядком n уравнения или системы.

Если решение задачи определяется в интервале x7е0 x400,x4k0 , то такие условия могут быть заданы как на границах, так и внутри интервала.

Минимальный порядок ОДУ, для которого может быть сформулирована граничная задача, равен двум. Третий тип задач для ОДУ - это задачи на собственные значения.

Такие задачи отличаются тем, что кроме искомых функций y x и их производных в уравнения входят дополнительно m неизвестных параметров7 l410,7l420,7l430, ,7l4m0, которые называются собственными значениями.

Для единственности решения на интервале x400,x4k0 необходимо задать n m граничных условий. В качестве примера можно назвать задачи определения собственных частот, коэффициентов диссипации, структуры электромагнитных полей и механических напряжений в колебательных системах, задачи нахождения фазовых коэффициентов, коэффициентов затухания, распределения напряженностей полей волновых процессов и т.д. К численному решению ОДУ приходится обращаться, когда не удается построить аналитическое решение задачи через известные функции.

Хотя для некоторых задач численные методы оказываются более эффективными даже при наличии аналитических решений 10 . Рассмотрим конкретные алгоритмы для каждого типа задач. 2.2 Задача Коши. Метод Рунге-Кутту 2-го порядка. Систему ОДУ 2.1.2 часто удается представить в каноническом виде, в так называемой форме Коши dy4k0 x f4k0 x, y410,y420, ,y4n0 , 2.2.1 dx где k 1,2, ,n. При формулировке задачи Коши система 2.2.1 дополняется начальными условиями 2.1.4 . Для простоты рассмотрим задачу Коши для одного уравнения типа 2.2.1 , а затем полученные алгоритмы обобщим на систему n уравнений dy x f x, y , y x400 y400. 2.2.2 dx В окрестности точки x400 функцию y x разложим р ряд Тейлора x-x400 52 y x y x400 x-x400 y x400 y x400 , 2.2.3 2 который можно применить для приближенного определения искомой функции y x. D njxrt x400 h при малых значениях h можно ограничится двумя членами ряда 2.2.3 , тогда y x400 h y400 hy x400 O h520 , 2.2.4 где O h520 -бесконечно малая величина порядка h520. Но такой метод дает очень существенные погрешности.

Для уменьшения погрешности метода интегрирования ОДУ, использующего разложение искомого решения в ряд Тейлора 2.2.3 , необходимо учитывать большее количество членов ряда. Однако при этом возникает необходимость аппроксимации производных от правых частей ОДУ. Основная идея методов Рунге-Кутты заключается в том, что производные аппроксимируются через значения функции f x, y в точках на интервале x400,x400 h, которые выбираются из условия наибольшей близости алгоритма к ряду Тейлора.

В зависимости от старшей степени h, с которой учитываются члены ряда, построены вычислительные схемы Рунге-Кутты разных порядков точности 10 . Рассмотрим схемы второго порядка точности.

Для этого порядка точности полечено однопараметрическое семейство схем вида y x400 h y400 h 1-7a0 f400 7a0f x400 7g0h, y400 7g0f400h O h530 , 2.2.5 где 07 0 7 a ,0 1 - свободный параметр, f f x, y ,7 g0 27a0 5-10. Локальная погрешность схем 2.2.5 имеет 3-й порядок, глобальная 2-й т.е. решение ОДУ полученное по этой схеме, равномерно сходится к точному решению с погрешностью O h520 . Для параметра7 a0 наиболее часто используют значения7 a0 0,5 и 7a0 1. В первом случае формула 2.2.5 приобретает вид y x400 h y400 h f400 f x400 h, y400 hf400 2, 2.2.6 геометрическая интерпретация которой представлена на рис. 7 Вначале вычисляется приближенное решение ОДУ в точке x400 h по формуле Эйлера y4Э 0 4 0y40 0 4 0hf400. Затем определяется наклон интегральной кривой в найденной точке f x400 h, y4Э0 , и после нахождения среднего наклона на шаге h находится уточненное значение y4RK0 y x400 h. Схемы подобного типа называют прогноз-коррекция, что подразумевает грубое вычисление решения по формуле низкого порядка, а затем уточнение с учетом полученной информации о поведении интегральной кривой 10 . С целью экономии памяти при программировании алгоритма 2.2.6 , обобщенного на системы ОДУ, изменим его запись с учетом того, что y400 y4Э0-hf40 y4k0 x400 h y4kЭ0 h f4k00-f4k0 x400 h, y4kЭ0 2, 2.2.7 где k - номер решения для системы ОДУ. Во втором случае при 7a0 1 от формулы 2.2.5 переходим к схеме y x400 h y400 hf x400 h 2,y400 hf400 2 , 2.2.8 геометрический смысл которой отражает рис. 8. Здесь при прогнозе определяется методом Эйлера решение в точке x400 h 2 y41 20 y400 hf400 2, 2.2.9 а после вычисления наклона касательной к интегральной кривой в средней точке решение корректируется по этому наклону. 2.3 Метод Рунге-Кутты 4-го порядка. Для построения вычислительных схем методов Рунге-Кутты четвертого порядка в тейлоровском разложении искомого решения y x учитываются члены, содержащие степени шага h до четвертой включительно. после аппроксимации правой части ОДУ f x, y получено семейство схем Рунге-Кутты четвертого порядка, из которых наиболее используемой в вычислительной практике является следующая y x400 h y400 k410 2k420 2k430 k440 6 O h550 , 2.3.1 где k410 hf x400,y400 , k420 hf x400 h 2,y400 k410 2 , k430 hf x400 h 2,y400 k420 2 , k440 hf x400 h, y400 k430 . Схема 2,3,1 на каждом шаге h требует вычисления правой части ОДУ в 4-х точках.

Локальная погрешность схемы имеет 5-й порядок, глобальная - 4-й. Схема обобщается для систем ОДУ, записанных в форме Коши. Для удобства программной реализации, особенно в случае систем ОДУ, формулы 2,3,1 рекомендуется преобразовать к виду y4i0 x400 h y4i00 q4i10 2q4i20 2q4i30 q4i40 3 O h550 , 2.3.2 где q4i10 h420f4i0 x400,y4i00 , h420 h 2 q4i20 h420f4i0 x400 h 2,y4i00 q4i10 , q4i30 hf4i0 x400 h 2,y4i00 q4i20 , q4i40 h420f4i0 x400 h, y4i00 q4i30 , i 1,2, ,n - номер уравнения в системе ОДУ из n уравнений.

В приводимом тексте программ рассматривается решение уравнения Ван дер Поля y p y520-1 y y 0, 2.3.3 которое является математической моделью автоколебательных механических и электронных схем. Параметр p в уравнении 2,3,3 определяет нелинейные свойства системы.

Для малых p 1 и больших p 1 значения параметра p в теории колебаний развиты приближенные методы аналитического решения уравнения Ван дер Поля. Для промежуточных значений параметра p уравнение приходится решать численными методами 10 . Для приведения уравнения 2,3,3 к форме Коши введем обозначения y410 x y x, y420 x y x, тогда получим систему уравнений 7 720y 410 x y420 x , 7 0 2.3.4 720y 420 x p 1-y52410 x y420 x -y410 x . 79 Оценку погрешности решений системы ОДУ, получаемых методом Рунге-Кутты четвертого порядка, можно провести можно провести по формуле y4h0 x -y4kh0 x R400 5-0 , 2.3.5 k5p0-1 которая при кратности изменения шага k 2 принимает вид R400 y4h0 x -y42h0 x 15 2.3.6 Однако эта формула требует значительных затрат времени для повторного расчета.

Рассмотрим тексты программ реализованных на Паскале.

PROGRAM RUNGE-KYTTE 4 TYPE VEC ARRAY 1 8 OF REAL VAR P,X,X9,H REAL Y VEC CH CHAR ПРОИЗВОДНЫЕ PROCEDURE RP X REAL VAR Y,R VEC BEGIN F 1 Y 2 F 2 P 1.0-SQR Y 1 Y 2 -Y 1 END МЕТОД РУНГЕ-КУТТЫ 4-го ПОРЯДКА PROCEDURE RK4 N INTEGER X,H REAL VAR Y VEC VAR I,J INTEGER H1,H2,Q REAL Y0,Y1,F VEC BEGIN H1 0.0 H2 H 2 FOR I 1 TO N DO BEGIN Y0 I Y I Y1 I Y I END FOR J 1 TO 4 DO BEGIN RP X H1,Y,F IF J 3 THEN H1 H ELSE H1 H2 FOR I TO N DO BEGIN Q H1 F I Y I Y0 I Q IF J 2 THEN Q 2 Q Y1 I Y1 I Q 3.0 END END FOR I 1 TO N DO Y I Y1 I END BEGIN REPET WRITE P,X,X9,H,Y 1 ,Y 2 ? READLN P,X,X9,H,Y 1 ,Y 2 WHILE X X9 H 0.0 DO BEGIN RP4 2,X,H,Y X X H WRITELN X, ,Y 1 , ,Y 2 END WRITE Еще разок ? Y N READLN CH UNTIL CH Y OR CH y END. 2.4Краткие сведения о функцияхБесселя. Цилиндрические функции бесселевы функции - решения Z7т0 дифференциального уравнения Бесселя d520Z dZ z520 z z520-7n520 Z 0 2.4.1 dz520 dz где7 n0 - произвольное действительное или комплексное число.

Если7 n0 не является целым числом, то общее решение уравнения 2.4.1 имеет вид Z7т 0 7 0c410J7т0 z 7 0 7 0c420J4-7т0 z , 2.4.2 где с410,с420 - постоянные, а J7т0 и J4-7т0 - так называемые цилиндрические функции 1-го рода, или функции Бесселя.

Для них справедливо разложение 7 4 m7 т4 2m 7 0 -1 5 0 0,5z J z 7 0 , arg z 7p0 2.4.3 7 0 7-0Г m 1 Г m 7n0 1 5m 0 7т Ряд в правой части для z J7т0 z сходится абсолютно и равномерно при всех z 7,0R, 7n0 7,0N, где R и N - произвольные положительные числа. Функции J7т0 z и J4-7т0 z - аналитические, с особыми точками z 0 и z 7 0 производные функций J7т0 z и J4-7т0 z удовлетворяют следующему тождеству 2sin7np z J7т0 z J 4-7т0 z -J 7т0 z J4-7т0 z - 2.4.4 7p Если же7 n0 - целое, то J7т0 z и J4-7т0 z линейно зависимы, и их линейная комбинация уже не является общим решением уравнения 2.4.1 . Поэтому, наряду с цилиндрическими функциями 1-го рода, вводят цилиндрические функции 2-го рода N7n0 z или Неймана функции, функции Вебера 1 N7т0 z J7т0 z cos7np0-J4-7т0 z , 2.4.5 sin7np другое обозначение Y7т0 z. При помощи этих функций общее решение уравнения 2.4.1 может быть записано в виде Z7т0 c410J7т0 z c420N7т0 z. Важны для приложения и другие решения уравнения 2.4.1 - цилиндрические функции 3-го рода или Ганкеля функции. Их обозна чают через H7т5 1 0 z и H7т5 2 0 z и, по определению, полагают 14 -i7тз H7т5 1 0 z J7т0 z iH7т0 z J4-7т0 z -J7т0 z e , 2.4.6 isin7np 14 -i7тз H7т5 2 0 z J7т0 z -iH7т0 z J7т0 z e -J4-7т0 z . 2.4.7 isin7np Справедливы тождества 7 27 2 z J7т0 z N 7т0 z -J 7т0 z N7т0 z 7 2 7p 2 780 2.4.8 4i7 2 z H7т5 1 0 z H7т5 2 0 z - H7т5 1 0 z H7т5 2 0 z - 7 2 7p 2 70 и соотношения 1 J z - H7т5 1 0 z H7т5 2 0 z , 2.4.9 2 1 H7т0 z H7т5 1 0 z -H7т5 2 0 z . 2.4.10 2i Для действительных z x и7 n0 функции Ганкеля являются комплексно сопряженными решениями уравнения 2.4.1 . При этом функции J7т0 z дают действительную часть, а функции N7т0 x - мнимую часть функций Ганкеля.

Цилиндрические функции 1-го, 2-го и 3-го рода удовлетворяют рекуррентным формулам 7 27n 2 Z7т4-10 z Z7т4 10 z Z7т0 z ,7 2 z7 80 2.4.11 72 Z7т4-10 z -Z7т4 10 z 2Z 7т0 z .7 2 70 Каждая пара функций J7т0 z ,J4-7т0 z J7т0 z ,Y7т0 z H7т5 1 0 z ,H7т5 2 0 z образует при целом 7n0 фундаментальную систему решений уравнения 2.4.1 . Модифицированными цилиндрическими функциями называются цилиндрические функции мнимого аргумента 7 0 4-i7тз4 27 0 4i7з4 2 720 e7 0J7т0 e z ,7 0-7p0 argz 7,0 7p0 2 , 72 I7т0 z 7 0 2.4.12 720 4-3i7тз4 27 0 4-3i7з4 2 720 e7 4 7 0J7т0 e 4 0 z ,7 p0 2 argz 7,0 7p0, 79 и функции Макдональда 4i7зт4 27 4 7 4i7з4 20 4 -i7зт4 27 4 7 4-i7з4 2 K7т0 z 1 2 i7p0e7 0H5 1 7т0 e4 0z - 1 2 i7p0e7 4 7 0H5 2 7т0 e4 0z 4-i7зт4 27 4 7 4i7з4 2 1 2 i7p0e7 4 7 0H5 1 7т0 e4 0z . 2.4.13 Эти функции являются решениями дифференциального уравнения d520Z dZ z520 z - z520 7n520 Z 0 2.4.14 dz520 dZ и удовлетворяют рекуррентным формулам 8,9 7 27n 0 72 I7т4-10 z I7т4 10 z I7т0 z ,7 2 z7 0 780 2.4.14 27n 0 72 K7т4-10 z -K7т4 10 z K7т0 z . 72 z7 0 70 K4-7т0 z K7т0 z . 2.4.15 2.5