Метод вычисления моментов

Метод вычисления моментов. Основной недостаток метода моментов состоит в том, что важный вклад в значение момента вклад тем существеннее, чем выше момент дают крылья кривой, которые на практике не наблюдаются. Необходимо из вычисленных моментов линии магнитного резонанса с центром на ларморовской частоте 0 исключить вклады от сопутствующих линий на частотах 0, 20, 30 о которых упоминалось ранее.

Легко видеть, что, несмотря на их малую интенсивность благодаря удаленности от центральной частоты 0 вклад во второй момент сравним с вкладом от главной линии и тем больше, чем выше порядок момента. Для исключения вкладов от них следует рассматривать в гамильтониане возмущения hH1 ответственного за уширение, только его секулярную часть hH0, которая коммутирует с H0 и, следовательно, не может отвечать перемешиванию состояний с различными полными М такое смешивание является причиной появления побочных линий.

Таким образом, сокращение дипольного гамильтониана до его секулярной части не только упрощает вычисление моментов, но и делает его более точным. Прежде чем начать расчет, отметим, что линия магнитного резонанса симметрична относительно центральной частоты 0. Убедимся в правильности этого утверждения. Если а и b - два собственных состояния h H0 H1 с разностью энергии h Еа - Еb h0 ab, то два состояния а и b, полученные из а и b соответственно путем поворота всех спинов в обратном направлении, будут также собственными состояниями h H0 H1 с h Еb - Еa h0 ab. Таким образом, каждому переходу с частотой 0 u соответствует переход равной интенсивности с частотой 0 - u. Если f - функция формы, то h u f0 u - четная функция u. Поскольку моменты кривой пропорциональны производным в начале координат от их фурье-преобразования, мы будем применять для их вычисления формулу 13 . Вследствие узости линии ядерного магнитного резонанса можно пренебречь изменением величины в пределах ширины линии и предположить, что форма линии описывается, так же как и. Тогда, поскольку f - нормированная функция формы, 13 может быть переписано в виде f A? G t cos t dt, IV.26 где постоянная A определяется из условия нормировки f, а определенная ранее четная функция G t равна Sp Mx t Mx. Обратно G t 2 A ? f cos t d, IV.27 Согласно вышеизложенному, в выражении Mx t еiHtMxе-iHt. следует вместо H H0 H1 подставить H H0 H1 что значительно упрощает вычисления.

Поскольку H0 и H1 коммутируют, можно записать exp i H0 H1 t exp iH0t exp iH1t. Учитывая, что зеемановский гамильтониан hH0 равен h0Iz функцию G t можно переписать в виде IV.28 Шпур произведения операторов инвариантен относительно циклической перестановки, поэтому IV.28a В этом выражении оператор exp i0Izt определяет поворот на угол 0t вокруг оси z, и, следовательно, можно записать 29 Легко видеть, что второй член в 29 равен нулю, так как поворот спинов на 180 , например вокруг оси ох, не изменяет H1 и Mx но преобразует Mу в - My. Заменяя в 27 G t на G1 t cos0t, где G1 t Sp еxp iH1t Mxе -iH1t Mx называется сокращенной функцией автокорреляции, и вводя обозначение h u f0 u, получаем Заменяя нижний предел на что допустимо для узких линий, найдем Поскольку h и является четной функцией, второй интеграл равен нулю и G1 t Sp еxp iH1t Mxе -iH1t Mx 30 Различные моменты кривой распределения h и относительно резонансной частоты 0 определяются выражением Нечетные моменты равны нулю, а четные определяются формулой 31 Таким образом, для вычисления моментов резонансной кривой достаточно разложить G1 t в выражении 30 по степеням t. При этом коэффициенты разложения представляют собой шпуры от операторов, которые являются полиномами от H1 и Mx. Сущность метода заключается в том, что значения упомянутых шпуров не зависят от выбора основных состояний и могут быть вычислены, например, в представлении, где значения mj Ijz отдельных спинов поэтому представление называется mj-представлением являются хорошими квантовыми числами.

Таким образом, нет необходимости решать проблему отыскания собственных состояний n полного гамильтониана.

Из определения 30 функции G1 t вытекает, что значение ее р-й производной в момент t 0 определяется выражением IV.32 Формула 32 просто находится из дифференциального уравнения 33 которому удовлетворяет зависящий от времени оператор Mx t е iH1t Mxе -iH1t t. Решение этого уравнения может быть представлено в виде ряда Mx t Mx M 1 x t M 2 x t M n x t, отдельные члены, которого получаются методом индукции с помощью соотношения из последнего сразу же следует 32 . Из 31 и 32 для первых двух четных моментов находим 34 34a B 34 Mx заменено полным спином Ix, пропорциональным Mx. Поскольку мы определили гамильтониан в виде hH, следует помнить, что эти моменты соответствуют ширинам линии, измеренным в единицах.