Понятие о квантах. Формула Планка и вывод из нее классических законов как частных случаев. октября 1900 года на заседании физического общества в Берлине Макс Планк предложил свою формулу, которая, как он считал, помогала устранить вышеописанные несоответствия. Тогда он нашел ее полуэмпирическим путем, и только в процессе ее теоретического обоснования обнаружил, что это уравнение справедливо только при допущении, что энергия может излучаться и поглощаться не непрерывно, а лишь в известных неделимых порциях – квантах (квант энергии – “ε ”; ε = ž& #969;, γδ е ћ – постоянная Планка; ћ =1,0546 •10 -3 Дж•с). В отличие от классического осциллятора, энергия которого равна КТ, энергия квантового равна ћω/exp(ћω/КТ) – 1. Итак, Планку удалось найти универсальную f(ω,Т), в точности согласующуюся с опытами: В качестве доказательства того, что формула Планка является более общей, выведем из нее некоторые классические законы, как частные случаи. 1. Выведем закон Стефана-Больцмана. ћ/4πІсІ - константа.
Обозначим ее А. Тогда для энергетической светимости черного тела получаем: R = = (Энергетическая светимость абсолютно черного тела – это интеграл, т.е. предел суммы, по всем частотам). Введем вместо ω безразмерную величину x, равную ћω/kТ. Тогда ω = kТx / ћ dω = k dx/ћ ω³ =(kx)і/žі При подставлении получаем: R = Так как интеграл – это предел суммы (т.е. число), а Аk 4 /ћ 4 - константа, то R~Т 4 , или R = σ 4 – закон который Стефан и Больцман нашли экспериментально в 1884 г. (Из таблицы определенных интегралов известно значение интеграла в последнем выражении.
Оно равно π 4 /15≈6,5). 2. При низких частотах и высоких температурах формула Планка переходит в формулу Рэлея-Джинса, которая, как уже отмечалось, согласуется с опытами только в инфракрасном спектре.
При малых частотах(ω) и больших температурах (Т) ћω“kТ и ћω/kТ“1. Обозначим ћω/kТ через x. е х при разложении в ряд дает: е х = 1+x+xІ/2+…≈1+x Тогда е х -1 = 1+x-1 = х (с точностью до величин первого порядка) Подставим в формулу Планка с раскрытием х: – формула Рэлея-Джинса. 3. При высоких частотах и низких температурах формула Планка переходит в закон Вина. Так как ћω/kТ ” 1, то е ћω/kТ –1 ≈ е ћω/kТ . Пусть ћ/4πІсІ=А, тогда f (ω, ) = А•ωі•е -ћω/kТ = ω³•F(ω/&# 63738; ) – закон Вина. Таким образом, формула Планка дает исчерпывающее описание равновесного теплового излучения. 5.