Атмосферное давление и первый барометр

Атмосферное давление и первый барометр. Имя Торричелли навсегда вошло в историю физики как имя человека, впервые доказавшего существование атмосферного давления и сконструировавшего первый барометр. До середины XVII века считалось непререкаемым утверждение древнегреческого ученого Аристотеля (384–322 до н.э.) о том, что вода поднимается за поршнем насоса потому, что "природа не терпит пустоты". Однако при сооружении фонтанов во Флоренции обнаружилось, что засасываемая насосами вода не желает подниматься выше 34 футов.

Недоумевающие строители обратились за помощью к престарелому Галилею, который сострил, что, вероятно, природа перестает бояться пустоты на высоте более 34 футов, но все же предложил разобраться в этом своим ученикам – Торричелли и Вивиани.

Трудно сказать, кто первым догадался, что высота поднятия жидкости за поршнем насоса должна быть тем меньше, чем больше ее плотность. Так как ртуть в 13 раз плотнее воды, то высота ее поднятия за поршнем будет во столько же раз меньше. Тем самым опыт получил возможность "перейти" со стройплощадки в лабораторию и был проведен Вивиани по инициативе Торричелли. Осмысливая результаты эксперимента, Торричелли делает два вывода: пространство над ртутью в трубке пусто (позже его назовут "торричеллиевой пустотой"), а ртуть не выливается из трубки обратно в сосуд потому, что атмосферный воздух давит на поверхность ртути в сосуде.

Из этого следовало, что воздух имеет вес. Это утверждение казалось настолько невероятным, что не сразу было принято учеными того времени. В 1641 Торричелли сформулировал закон вытекания жидкости из отверстий в стенке открытого сосуда и вывел формулу для определения скорости вытекания (формула Торричелли). Точка Торричелли.

Точка Торричелли – это точка в плоскости треугольника, сумма расстояний от которой до вершин треугольника имеет наименьшее значение. Вопрос о нахождении такой точки имеет давнюю историю. Им интересовались крупнейшие ученые эпохи Возрождения – Вивиани, Кавальери, Торричелли и др. Задача Торричелли об отыскании точки, сумма расстояний от которой до трех данных точек минимальна, имеет большое применение в решении различных технико-экономических задачах.

Например, рассмотрим такую задачу: в местах Р 1 , Р 2 , Р 3 добывается некоторые материалы, потребляемые на центральной станции Р . Где следует построить Р , чтобы стоимость доставки грузов из Р 1 , Р 2 , Р 3 в пункт Р была наименьшей? Р – точка Торричелли для треугольника Р 1 Р 2 Р 3 . Приведем решение задачи о нахождении точки Торричелли. Докажем следующие два утверждения. Утверждение 1 . Для трех данных точек не может существовать на плоскости больше одной точки, сумма расстояний которой до вершин имеет наименьшее значение. 0 Предположим, что таких точек несколько. Тогда, очевидно, все они будут иметь одинаковые суммы расстояний от трех данных точек.

Возьмем две из них М и М 1 . Если N есть средина отрезка ММ 1 , то заметив, что удвоенная медиана треугольника меньше суммы боковых сторон, мы получим три неравенства: 2 NА < АМ + АМ 1 ; 2 NВ < ВМ + ВМ 1 ; 2 NС < СМ + СМ 1 . Рис.1. Отсюда 2(NА + NВ + NС) < АМ + ВМ + СМ + АМ 1 + ВМ 1 + СМ 1 , или NА + NВ + NС < АМ + ВМ + СМ. Итак, точка N имеет сумму расстояний, меньшую, чем точки М и М 1 , что противоречит допущению. &#9679; (Это доказательство дано Н. М. Соловьевым). Утверждение 2 . Точка Торричелли не может лежать вне треугольника.

Предположим, что искомая точка М лежит вне треугольника и расположена так, как указано на рис. 2а. Рис. 2 Тогда МА + МВ + МС не может быть наименьшим, так как М 1 А + М 1 В + М 1 С < МАґ + МВ + + МС (где М 1 – точка пересечения прямой МС со стороной АВ ). Пусть точка М расположена так, как указано на рис. 9б, то есть точка М расположена внутри угла В 1 АС 1 . В этом случае МВ +МС > АВ + АС (объемлющая более объемлемой), а поэтому МА +МВ + МС > АВ + АС . Итак, точка, сумма расстояний которой до вершин треугольника имеет наименьшее значение, лежит либо внутри треугольника, либо совпадает с одной из его вершин.

Перейдем непосредственно к решению задачи о нахождении точки Торричелли.

Пусть Р – произвольная точка внутри треугольника АВС . Найдем сумму отрезков РА+РВ+РС . (Рис. 3) Повернем &#8710; ВРА на угол в 60° вокруг точки В так, чтобы он оказался вне треугольника АВС . Точка А займет положение А 1 , не зависящее от выбора точки Р . Точка Р займет положение Р 1 . ? РВР 1 – равносторонний : РР 1 = РВ РА + РВ + РС = А 1 Р 1 + Р 1 Р + РС. Рис. 3 Наименьшее значение будет для точки Р , лежащей на прямой А 1 С . Так как в этом случае Р 1 , Р , С лежат на одной прямой, то угол ВРС , смежный с углом равностороннего треугольника, равен 120°; т. к. угол А 1 Р 1 В , равный 120°, равен АВС , то и угол АРВ = 120°. Итак, для отыскания точки Р строим на каждой из сторон сегмент, вмещающий угол в 120°. Точка пересечения дуг сегментов – искомая точка.

Точка Р находится внутри треугольника, если среди углов нет угла, равного или большего 120°. Рассмотрим случаи: а) когда один из углов &#8710; АВС равен 120°; б) когда один из углов &#8710; АВС больше 120°. а) В плоскости &#8710; АВС с углом А = 120° найдем точку Торричелли. &#9675; Построив равносторонние &#8710; АСВ 1 и &#8710; АВС 1 , докажем, что вершина А – искомая точка.

Покажем, что для всякой точки, лежащей внутри треугольника, например для точки Р , имеет место соотношение РА + РВ + РС > АВ +АС. (Рис.4.) Рис. 4. Построим на отрезке АР равносторонний треугольник АРР 1 . Из равенства ? В 1 Р 1 А = &#8710;СРА (АВ 1 = АС; АР 1 =АР; Р РАС= Р В 1 АР 1 ) следует, что РС = Р 1 В 1 . Итак: РА + РВ + РС = РВ + РР 1 + Р 1 В; РВ + РР 1 + Р 1 В 1 > В 1 В; РВ + РА + РС > АВ + АС .&#9679; б) В плоскости &#8710; АВС с углом А > 120° найдем точку Торричелли.

Покажем, что искомой точкой является вершина тупого угла. Возьмем произвольную точку Р внутри треугольника и покажем, что сумма РА + РВ + РС > АВ + АС . (Рис.5.) Рис. 5 Построим равносторонние треугольники РАР 1 и АВС 1 . &#8710; АВР = &#8710; АР 1 С 1 ( АР = АР 1 ; АВ = АС 1 ; Р РАВ = Р Р 1 АС 1 ). Следовательно ВР=Р 1 С 1 ; поэтому РС + РА + РВ = РС +РР 1 + Р 1 С 1 и далее РА + РВ + РС > АС + АС 1 ; РА + РВ + РС > АС +АВ . Задача о нахождении точки Торричелли решена.