Почему волчок не падает. Небольшая вершина, которую мы покорили, прочитав и усвоив предыдущую главу, позволяет нам ответить на вопрос, вынесенный в заголовок. Представим себе какой-либо волчок, например то, что описан в начале книги тонкий латунный диск шестеренка, насаженный на тонкую стальную ось Этот вариант волчка изображен на рис.4. Пусть вас не пугает сложность рисунка, она кажущаяся. Ведь сложное - всего лишь недостаточно понятое.
Некоторые усилия и внимание - и все станет простым и ясным. Рис.4. Схема, поясняющая возникновение прецессии, гироскопического момента и характера движении полчка Возьмем прямоугольную систему координат хуz и поместим ее центр в центр масс полчка, то есть в точку ЦМ. Пусть ось z проходит через ось собственного быстрого вращения волчка, тогда оси хуz будут параллельны плоскости диска и лежать внутри него. Договоримся, что оси хуz участвуют во всех движениях волчка, кроме его собственного быстрого вращения.
В правом верхнем углу рис.4, б изобразим такую же систему координат хуz. Она нам понадобится в дальнейшем для разговора на языке векторов. Сначала не будем раскручивать волчок, и попытаемся его поставить нижним концом оси на опорную плоскость, например на поверхность стола.
Результат не обманет наших ожиданий волчок обязательно упадет на бок. Почему это происходит? Центр масс волчка точка ЦМ лежит выше точки его опоры точки О . Сила веса G волчка, как мы уже знаем, приложена в точке ЦМ. Поэтому любое малое отклонение оси z волчка от вертикали В обусловит появление плеча силы G относительно точки опоры О, то есть появление момента М, который и повалит волчок в направлении своего действия, то есть вокруг оси х. Теперь раскрутим волчок вокруг оси z до большой угловой скорости Щ. Пусть по-прежнему ось z волчка отклонена от вертикали В на малый угол, т.е. на волчок действует тот же момент М. Что же изменилось теперь? Как мы увидим дальше, изменилось многое, а вот в основе этих изменений лежит тот факт, что теперь каждая материальная точка i диска уже имеет линейную скорость V, обусловленную вращением диска с угловой скоростью Щ. Выделим одну точку в диске, например точку А, имеющую массу mA и лежащую в средней плоскости диска на расстоянии г от оси вращения г - радиус диска. Рассмотрим особенности ее движения за один оборот.
Итак, в начальный момент времени точка А, как и все другие точки диска, имеет линейную скорость, вектор которой VА лежит в плоскости диска.
На волчок и его диск действует момент М, который пытается опрокинуть волчок, придав точкам диска линейные скорости, векторы которых Wi перпендикулярны плоскости диска. Под действием момента М точка A начинает приобретать скорость WA. В силу закона инерции скорость материальной точки мгновенно нарасти никак не может.
Поэтому в начальном положении точка А находится на оси у ее скорость WA 0, и только через четверть оборота диска когда точка А, вращаясь, будет уже находиться на оси х ее скорость WA возрастает и станет максимальной. Это значит, что под действием момента М вращающийся волчок поворачивается вокруг оси у, а не вокруг оси х как это было с нераскрученным волчком. В этом явлении начало разгадки тайны волчка.
Поворот волчка под действием момента М называется прецессией, а угловая скорость поворота - скоростью прецессии, обозначим ее ы п. Прецессируя, волчок начал поворот вокруг оси у. Это движение является переносным по отношению к собственному относительному вращению волчка с большой угловой скоростью Щ. В результате переносного движении вектор относительной линейной скорости VA материальной точки A, уже возвратившейся и начальное положение, окажется повернутым в сторону переносного вращении.
Таким образом, возникает уже знакомая нам картина влияния переносного движения на относительное, влияния, рождающего Кориолисово ускорение. Направление вектора Кориолисова ускорения точки А в соответствии с правилом, приведенным в предыдущей главе, найдем, повернув вектор относительной скорости VА точки А на 90 в сторону переносного прецессионного вращения волчка. Кориолисово ускорение ак точки A, имеющей массу тА, порождает силу инерции FK, которая направлена противоположно вектору ускорения aк и приложена к материальным точкам диска, соприкасающимся с точкой A. Рассуждая подобным образом, можно получить направления векторов Кориолисова ускорения и силы инерции для любой другой материальной точки диска. Вернемся к точке А. Сила инерции FK на плече r создает момент МГА, действующий на волчок вокруг оси х. Этот момент, порожденный Кориолисовой силой инерции, называется гироскопическим.
Его величину определяют помощью формулы МГА rFk mAr2 ЩщП IA Щ щП Величину IA mAr2, зависящую от массы точки и ее расстояния от оси вращения, называют осевым моментом инерции точки.
Момент инерции точки является мерой ее инертности во вращательном движении. Понятие момента инерции было введено в механику Л. Эйлером. Моментами инерции обладают не только отдельные точки, но и целые тела, поскольку они состоят из отдельных материальных точек. Имея это в виду, составим формулу для гироскопического момента МГ, создаваемого диском волчка.
Для этого в предыдущей формуле заменим момент инерции точки IA на момент инерции диска IД, а угловые скорости Щ и щП оставим прежними, так как все точки диска за исключением тех, что лежат соответственно на осях гну вращаются с одинаковыми угловыми скоростями Щ и щП. Н.Е. Жуковский отец русской авиации, занимавшийся также и лучением механики волчков и гироскопов, сформулировал следующее простое правило для определения направления гироскопического момента рис.4, б гироскопический момент стремится совместить вектор кинетического момента Н с вектором угловой скорости переносного вращения щП по кратчайшему пути. В частном случае скоростью переносного вращения является скорость прецессии.
На практике пользуются также аналогичным правилом для определения направления прецессии прецессия стремится совместить вектор кинетического момента Н с вектором момента физических сил М по кратчайшему пути. Эти простые правила лежат в основе гироскопических явлений, и мы ими будем широко пользоваться в дальнейшем.
Но вернемся к волчку. Почему он не падает, поворачиваясь вокруг оси х, ясно - препятствует гироскопический момент. Но может быть, он упадет, поворачиваясь вокруг оси у в результате прецессии? Тоже нет! Дело в том, что, прецессируя, волчок начинает поворачиваться вокруг оси у, а это значит, что сила веса G начинает создавать момент, действующий на волчок вокруг этой же оси. Такая картина нам уже знакома, с нее мы начинали рассмотрение поведения вращающегося волчка. Стало быть, и в этом случае возникнут процессия и гироскопический момент, которые не позволят волчку долго наклоняться вокруг оси у, а переведут движение волчка в другую плоскость, и которой нее явлении повторятся снова.
Таким образом, пока угловая скорость собственного вращения волчка Щ велика, момент силы тяжести вызывает прецессию и гироскопический момент, которые удерживают волчок от падении в каком либо одном направлении. Этим объясняется устойчивость оси r вращения волчка. Допуская некоторые упрощения, можно считать, что конец оси волчка, точка К движется по окружности а сама ось вращения z описывает в пространстве конические поверхности с вершинами в точке О. Вращающийся волчок представляет собой пример движения тела, имеющего одну неподвижную точку у волчка это точка О . Задача о характере движения такого тела сыграла важную роль в развитии науки и техники, ее решению посвятили свои труды многие выдающиеся ученые. 4.