Пограничный слой. Следует учитывать, что, несмотря на то, что все выше полученные выражения точные, пока нет рецепта, как считать интегралы, входящие в выражения 3.42- 3.44 . Для этого надо понять, как выбрать конкретный вид функции. Вообще говоря, это может быть сделано при нахождении точного решения уравнения 3.8 . Однако на данном этапе это невозможно.
На самом деле известны свойства функции, поэтому ее можно подобрать, используя подгоночные параметры пробных функций.
Для этого необходимо с помощью этой функции суметь подобрать правильный профиль концентрации паров вокруг частицы.
Такой функцией может быть зависимость вида 3.47 где величина параметра - это характерное расстояние, на котором свободно молекулярный режим переходит в непрерывный.
Множитель - описывает профиль концентрации конденсирующихся паров в безстолкновительном режиме, когда поток пропорционален плотности, а не ее градиенту.
Поскольку поток пропорционален, то. Экспоненциальный множитель аппроксимирует переход от свободно молекулярного режима к непрерывному.
Таким образом, вместо уравнения 3.36 получается 3.48 Представленная интерпретация достаточно прямолинейна, чувствительность окончательного результата к величине будет позже исследована.
На рисунке 1 показан профиль концентрации при различных значениях величины. Вообще говоря, может быть найдена при помощи вариационных расчетов. Рис. 1. Профиль концентрации вблизи поверхности частицы см. уравнения 3.25 , 3.34 и 3.47 . Концентрации нормированы на 1, расстояние измерено в длинах свободного пробега. Кривые 1-4 рассчитаны для 1, 3, 10, соответственно как функции расстояния от центра частицы.
Радиус частицы а 1. Последняя кривая соответствует приближению скачка профиля концентрации сам профиль концентрации получен из уравнения Фика, а граничные условия для концентрации пара - из решения кинетического уравнения см. уравнение 3.59 . Итак, найдём параметр. Для этого построим функционал и минимизируем его численными методами с помощью ЭВМ. Итак, вспомним уравнение 3.13 . Оно и станет основой для нашего функционала 3.49 В результате преобразования получим 3.50 Теперь можно записать функционал, который надо минимизировать относительно параметра 3.51 где 3.52 , 3.53 , 3.54 , 3.55 3.55 3.56 3.57 3.58 Вышеописанная модель была реализована в двух видах в качестве программы на языке C с использованием библиотеки GSL, а так же в виде приложения пакета Mathcad.
Рассмотрим полученные результаты Рис. 2. Значение функционала 3.51 в диффузионном непрерывном режиме. Рис. 3. Значение функционала 3.51 в переходном режиме. Рис. 4. Значение функционала 3.51 в свободномолекулярном кинетическом режиме. Мы видим, что функционал уменьшается с ростом. Это соответствует скачку концентрации на поверхности частицы.
Таким образом, модель оказалась чувствительной к скачку концентрации, то есть оправдывающей приближение, описанное ниже. Рассмотрим влияние параметра на окончательный результат Рис. 5. Зависимость потока конденсирующихся паров. Потоки нормированы на 1, расстояния измерены в длинах свободного пробега а - полная вероятность прилипания, кривая 1 соответствует 1, кривая 2 соответствует скачку концентрации, показано также и отношение этих потоков б - при уменьшении приближение скачка концентрации дает лучшую точность Из рисунка 5 видно, что окончательный результат не сильно зависит от параметра. Максимальное отклонение между граничными значениями и не превышает 10 и уменьшается при уменьшении . 3.6.