Математическая обработка результатов измерений

Математическая обработка результатов измерений. Под измерением понимают сравнение измеряемой величины с другой величиной, принятой за единицу измерения. Измерения подразделяются на прямые и косвенные. При прямых измерениях определяемую величину сравнивают с единицей измерения непосредственно или при помощи измерительного прибора, проградуированного в соответствующих единицах.

При косвенных измерениях искомая величина определяется вычисляется по результатам прямых измерений других величин, которые связаны с измеряемой величиной определенной функциональной зависимостью. 1. Погрешности результатов измерений Истинное значение физической величины обычно точно определить нельзя. Корректный способ представления результатов любого измерения состоит в том, что экспериментатор указывает свою наилучшую оценку измеряемой величины xнаил и интервал, в котором, как он уверен, она лежит измеренная величина 1 Например g 9,820,02м с2. Величину х называют абсолютной погрешностью или доверительным интервалом определения х. В студенческой лаборатории полученные абсолютные погрешности обычно должны округляться до одной значащей цифры, например g 0,02385м с20,02м с2 Но, пожалуй, не стоит делать округление типа 0,140,1, ведь это сразу на 40 уменьшает погрешность.

Запись результата измерения в виде 1 необходимо делать так, чтобы последняя значащая цифра должна быть того же порядка находиться в той же десятичной позиции, что и погрешность.

Например 92,80,3 933 9030. Очевидно, что качество измерения характеризуется не только самой абсолютной погрешностью, но также и отношением x к xнаил, т.е. относительной погрешностью измерения . 2 По-видимому, простейший тип учебного эксперимента - измерение величины, принятое значение которой известно.

Например, эксперимент по определению скорости звука в воздухе обычно завершается сравнением измеренного значения скорости допустим, 3295м с с принятым табличным значением 331м с. Очевидно, что вывод в данном случае может быть таким Измеренное значение скорости звука совпадает с табличным значением с точностью до погрешности измерения. Измерение может рассматриваться как удовлетворительное, даже если принятое значение слегка выходит за рамки измеренного интервала допустим, 3255м с. Во многих экспериментах измеряют два значения, которые, согласно теории должны быть равны.

Две величины считаются равными, если их измеренные интервалы перекрываются. Например, импульсы р1 1,510,04 кгм с и р2 1,560,06 кгм с можно считать равными с точностью до погрешностей измерений. Все погрешности подразделяют на систематические, случайные и промахи. Систематической называют такую погрешность, которая остается постоянной или закономерно изменяется при повторных измерениях одной и той же величины.

Такие погрешности возникают в результате конструктивных особенностей измерительных приборов, неточности метода исследования, каких-либо упрощений экспериментатора, применении для вычислений неточных формул, округления констант. Систематические погрешности либо увеличивают, либо уменьшают результаты измерений. В любом измерительном приборе заложена та или иная систематическая погрешность, которую невозможно устранить, но которую можно учесть. Случайные погрешности - ошибки, появление которых не может быть предупреждено, а их величина непредсказуема.

Поэтому случайные погрешности могут оказать определенное влияние на отдельное измерение, но при многократных измерениях они подчиняются статистическим законам и их влияние на результаты измерений можно учесть или значительно уменьшить. Промахи и грубые погрешности чрезвычайно большие ошибки, явно искажающие результаты измерения. Этот класс погрешностей вызван чаще всего неправильными действиями наблюдателя.

Измерения, содержащие промахи, следует отбросить. Для оценки полной погрешности необходимо знать и случайную и систематическую погрешности. 2. Оценка точности результатов одного прямого измерения Если при повторении измерений в одних и тех же условиях 3 - 4 раза получено одно и то же значение, то это означает, что измерения не обнаруживают случайных изменений, а погрешность обусловлена только систематической погрешностью. Систематическая погрешность в данном случае определяется погрешностями измерительных приборов и часто называется инструментальной или приборной погрешностью.

Есть несколько способов задания этой погрешности а Для некоторых приборов инструментальная погрешность дается в виде абсолютной погрешности. Например, для штангенциркуля, в зависимости от конструкции его нониуса 0,1 мм или 0,05 мм, для микрометра - 0,01 мм. б Для характеристики большинства измерительных приборов часто используют понятие приведенной погрешности п класса точности. Приведенная погрешность - это отношение абсолютной погрешности х к предельному значению хпр измеряемой величины т.е. к наибольшему её значению, которое может быть измерено по шкале прибора. Приведенная погрешность обычно дается в процентах . 3 По величине приведенной погрешности приборы разделяют на семь классов 0,1 0,2 0,5 1,0 1,5 2,5 4. Зная класс прибора, можно рассчитать его абсолютную погрешность. Например, вольтметр имеет шкалу делений в пределах от 0 до 300 В хпр 300 В и класс точности 0,5. Тогда . в В некоторых случаях используется смешанный способ задания инструментальной погрешности.

Например, весы технические Т-200 имеют класс точности 2. В то же время указывается, что при нагрузке до 20 г абсолютная погрешность равна 5 мг, до 100 г - 50 мг, до 200 г - 100 мг. Набор школьных гирь относится 4-му классу точности, а допустимые погрешности масс гирь указаны в таблице 1. Таблица 1 Номинальное значение, г 100 50 20 10 5 2 1 Абсолютная погрешность, мг 40 30 20 12 8 6 4 Номинальное значение, г 500 200 100 50 20 10 5 Абсолютная погрешность, мг 3 2 1 1 1 1 1 Если, например, при взвешивании на таких весах с таким набором гирь получено значение массы тела 170 г 100 г 50 г 20 г, то абсолютная погрешность взвешивания равна х 40 30 20 100 200 мг 0,2 г . г В тех случаях, когда класс точности прибора не указан, абсолютная погрешность принимается равной половине цены наименьшего деления шкалы прибора.

Так при измерении линейкой, наименьшее деление которой 1 мм, абсолютная погрешность равна 0,5 мм. 3. Статистический анализ случайных погрешностей Пусть при повторении измерений одной и той же физической величины х в одинаковых условиях получены различные значения x1, x2 xn. Это означает, что есть причины, приводящие к случайному разбросу измеряемой величины xi помехи, трение и т. п В этом случае наилучшей оценкой измеряемой величины является среднее арифметическое значение найденных значений xi , 4 где n - число измерений.

При наличии случайных погрешностей появление того или иного значения величины xi является случайным событием.

Вероятность появления того или иного значения чаще всего определяется законом нормального распределения Гаусса.

Распределение случайных погрешностей также чаще всего бывает нормальным. Поэтому распределение Гаусса может быть записано и как закон нормального распределения случайных погрешностей, которое при бесконечно большом числе измерений имеет вид . 5 Наилучшей оценкой погрешности отдельного измерения в этом случае является стандартное отклонение СО . 6 Величину 2 называют дисперсией.

На кривой нормального распределения случайных погрешностей рис. 1 имеются две характерные точки перегиба А, А. Абсциссы этих точек равны, т. е. стандартному отклонению. Можно показать, что вероятность появления погрешностей, не выходящих за пределы, равна 0,6827 68 . Иначе говоря, при достаточно большом числе измерений практически при n30 приблизительно 70 результатов измерений будут попадать в интервал. В другой терминологии попадание результата измерений в доверительный интервал гарантировано с надежностью 0,68 Конечно, надёжность измерений может быть задана и большая, чем 0,68. В этом случае доверительный интервал расширяется и его границы могут быть рассчитаны с помощью так называемых коэффициентов Стьюдента.

При выполнении учебных лабораторных работ вполне можно ограничиться надежностью 0,68. Стандартное отклонение характеризует среднюю погрешность отдельных измерений.

Результат измерений есть разумная комбинация всех n измерений, и поэтому имеются основания полагать, что он будет более надёжным, чем любое из отдельных измерений. Стандартное отклонение среднего СОС или SDOM - standard deviation of the mean равно стандартному отклонению, деленному на . 7 Таким образом, результат многократных измерений какой-либо физической величины должен представляться в виде . 8 Чтобы учесть и случайную и систематическую погрешность, т.е. рассчитать полную погрешность измерений, обычно используют правило квадратичного сложения . 9 4. Оценка точности косвенных измерений Большинство физических величин обычно невозможно измерить непосредственно, и их определение включает два различных этапа.

Сначала измеряют одну или более величин x, ,z, которые могут быть непосредственно измерены и, с помощью которых можно вычислить интересующую нас величину. Затем, используя измеренные значения x z, вычисляют саму искомую величину. Если измерение включает эти два этапа, то и оценка погрешностей тоже включает их. Сначала надо оценить погрешности в величинах, которые измеряются непосредственно, а затем определить, к какой погрешности они приводят в конечном результате.

При этом, конечно, необходимо учитывать вид функциональной связи между величинами. Погрешность функции q f x, ,z нескольких переменных x, ,z, измеренных с погрешностями x, ,z в случае, если погрешности независимы и случайны, определяется по формуле . 10 Вычисления погрешности с помощью формулы 9 обычно оказываются достаточно громоздкими.

Поэтому лучше производить поэтапное вычисление, используя некоторые правила, два из которых являются наиболее употребляемыми 1. Абсолютная погрешность суммы и разности равна квадратичной сумме абсолютных погрешностей . 11 2. Относительная погрешность комбинации произведения и частного равна квадратичной сумме относительных погрешностей 12 Правила вычисления погрешностей для некоторых других функций приведены в Приложении 1. Рассмотрим последовательность действий при вычислении погрешности косвенного измерения на примере формулы. Сначала найдем абсолютную и относительную погрешность суммы w m M . Затем найдем относительную и абсолютную погрешности величины v. Анализ полученной окончательной формулы позволяет установить а Погрешности каких именно величин вносят наибольший вклад в общую погрешность. Точному измерению этих величин необходимо уделить наибольшее внимание. б Погрешности каких величин практически не влияют на окончательный результат и их можно даже отбросить.

Будем в дальнейшем не принимать в расчет погрешности постоянных g, e, и табличных величин, измеренных с большой точностью.

Например, погрешность приближенного числа 3,14 составляет всего 0,05 . 5. Линеаризация функции и метод наименьших квадратов В физических исследованиях очень часто для сравнения эксперимента с теорией пользуются методом линеаризации теоретической зависимости, Например, исследуется зависимость перемещения S равноускоренного движения от времени движения.

Теоретическая зависимость имеет вид , 13 где а - ускорение грузов. Если по экспериментальным точкам построить график зависимости S от t, представляющий собой восходящую кривую, то по виду графика нельзя утверждать, что это парабола и именно та парабола второго прядка, которая соответствует проверяемой закономерности, т. к. похожие графики могут иметь другие закономерности. Единственным графиком, по внешнему виду которого можно однозначно судить о характере исследуемой зависимости, является прямая линия.

Для того, чтобы воспользоваться этим свойством в проверяемой закономерности необходимо выявить в ней такие новые переменные, зависимость между которыми была бы линейной. В нашем случае такими переменными являются S и t2. Следовательно, для проверки справедливости соотношения 13 имеет смысл строить график экспериментальной зависимости S от t2. На систему координат S, t2 рис. 2 следует нанести экспериментальные точки, а также вправо и влево от них отложить отрезки, длина которых равна погрешностям измерения t2 доверительным интервалам. Если через начало координат и доверительные интервалы можно провести прямую линию, т. е. экспериментальная зависимость S f t2 является линейной, значит соотношение 13 подтверждено экспериментально.

Используя график линеаризованной зависимости, можно определить некоторые параметры изучаемого явления из следующих соображений. Уравнение прямой можно записать в виде y kx b. 14 Угловой коэффициент k , 15 где x - произвольный отрезок на оси 0Х - приращение аргумента, y - соответствующее приращение функции.

Величина b может быть определена как величина отрезка, отсекаемого графиком на оси 0Y. В нашем случае знание коэффициента k позволяет определить ускорение движения a 2k. При нахождении величин k и b из графика к погрешностям измерения добавляется погрешность построения графика. Существует точный метод нахождения величин k и b - метод наименьших квадратов МНК . Этот метод позволяет провести прямую так, что сумма квадратов отклонений экспериментальных точек от графика минимальна.

Формулы для определения величин k и b имеют вид 16 Зная k и b и задавшись какими-либо значениями x1 и x2, можно по формуле 14 вычислить y1 и y2. Затем через две точки с координатами x1,y1 и x2,y2 проводится искомая линия. Теория позволяет также найти погрешности коэффициентов k и b. Сначала вычисляют величины 17 Затем вычисляют коэффициент линейной корреляции . 18 Это число принимает значения между -1 и 1. Если r близко к 1, то точки лежат вблизи некоторой прямой линии если r близко к 0, то точки не коррелированны и либо незначительно, либо совсем не группируются около прямой линии.

Вычисление абсолютных погрешностей коэффициентов k и b выполняется по формулам 19 6. Микрокалькулятор Основным назначением микрокалькулятора является быстрое и точное получение результатов арифметических вычислений. Поэтому отпадает необходимость в применении предварительного округления чисел. Учитывая, что в лабораторных работах редко встречаются числа, имеющие больше четырех значащих цифр, точность до восьми цифр, получаемых на микрокалькуляторе, является излишней и маскирует существование инструментальной погрешности и по Для того чтобы избежать иллюзорного впечатления о высокой точности результата, полученного с помощью микрокалькулятора, нужно посредством правил подсчета значащих цифр округлить результат математических вычислений так, чтобы точность их соответствовала точности данных, полученных от измерения.