Определение модуля сдвига методом крутильных колебаний. Цель работы Экспериментальное определение модулей сдвига различных материалов методом крутильных колебаний.
Идея эксперимента Крутильный маятник представляет собой стержень или проволоку, верхний конец которой закреплен. К нижнему концу проволоки подвешивается тело произвольной формы. Если закрутить проволоку, т.е. вывести маятник из положения равновесия, то в системе возникнут крутильные колебания t. Очевидно, что период этих колебаний зависит от геометрии системы, от момента инерции подвешенного тела и от упругих свойств материала подвеса.
Это позволяет, изучая крутильные колебания, определить одну из важнейших характеристик материала модуль сдвига. Теория Если момент пары сил, приложенных касательно к незакрепленному концу проволоки, равен М, то угол кручения угловое смещение колебательной системы по закону Гука оказывается равным сМ, где с - коэффициент, зависящий от упругих свойств материала проволоки. Модуль кручения f, равный , 13.1 показывает, какой момент сил надо приложить, чтобы закрутить проволоку на угол в один радиан.
Модуль сдвига G равен , 13.2 где F S определяет величину касательной силы, приходящейся на единицу поверхности, а - угол сдвига рис. 28 . Между модулем кручения и модулем сдвига материала существует простое соотношение , 13.3 где r - радиус цилиндрической проволоки, L - ее длина. Подвешенное на проволоке твердое тело при возникновении в системе крутильных колебаний совершает вращательные движения, к которым может быть применен основной закон динамики вращательного движения , 13.4 где M - вращательный момент относительно оси подвеса, J - момент инерции тела относительно той же оси угловое ускорение. Используя 13.1 и учитывая, что угловое ускорение направлено против углового смещения, можно записать . 13.5 Из этого уравнения видно, что в рассматриваемом движении ускорение пропорционально угловой координате - смещению и направлено противоположно ему, что является существенным признаком гармонического колебания, где 0 - циклическая частота.
Поэтому 0 должен быть равен , 13.6 где Т - период колебаний.
Далее , 13.7 откуда . 13.8 Экспериментальная установка В данной работе крутильный маятник представляет собой штангу Ш, подвешенную на проволоке А рис. 29 . Верхний конец проволоки закреплен с помощью винта В в держателе Д. Для выведения маятника из положения равновесия, т. е. для первоначального закручивания проволоки служит пусковое устройство П. Вдоль штанги могут перемещаться два груза Г одинаковой массы m. Изменяя расстояния l от грузов до центра штанги, можно изменять момент инерции маятника, а вместе с этим и период колебаний маятника.
Для того, чтобы из выражения 13.8 найти модуль кручения f материала проволоки, необходимо исключить неизвестный момент инерции J. Для этого в работе определяются два периода колебаний маятника при разных моментах инерции , 13.9 откуда . 13.10 Момент инерции крутильного маятника складывается из моментов инерции грузов 2ml2 и суммарного момента инерции штанги и проволоки j . 13.11 Для исключения j вычтем J1 из J2 . 13.12 Подставляя сюда из соотношения 13.10 значение, получаем . 13.13 Подставив, наконец, это выражение в уравнение 13.7 , находим модуль кручения . 13.14 Для модуля сдвига получается выражение . 13.15 Проведение эксперимента Измерения 1. Подвешивают стержень крутильного маятника на выбранную проволоку.
Надевают на концы штанги грузы Р. Наблюдая за положением равновесия штанги с грузами и понемногу перемещая грузы, уравновешивают штангу в горизонтальном положении.
Измеряют радиус проволоки r и длину подвеса L. Записывают массы грузов m. 2. Сообщают маятнику вращательный импульс так, чтобы он совершал крутильные колебания с небольшой амплитудой. Для этого легким рывком отодвигают в сторону рычажок пускового механизма Н. Следят за тем, чтобы при пуске не возникали поступательные колебания. 3. Измеряют суммарное время t1 50-100 колебаний маятника. Измеряют расстояние l1 от оси вращения до середины одного из грузов. 4. Передвигают грузы в другое положение и, снова уравновесив маятник, измеряют время t2 такого же числа колебаний.
Измеряют расстояние l2. 5. Если число колебаний N в первом и втором случаях одинаково, то формулы 13.14 и 13.15 можно записать через время и число колебаний . 13.16 Подставляют в эти формулы измеренные значения входящих в них величин и вычисляют модуль кручения f и модуль сдвига G материала проволоки. 6. Для вычисления величин погрешностей измерений можно вывести следующие формулы 13.17 При этом принято, что погрешности измерений величин l1 и l2 одинаковы и равны l, а погрешности измерения t1 и t2 равны t. Анализ приведенных формул показывает, что наибольший вклад в измерение модуля сдвига вносит погрешность измерения величины r. Следовательно, радиус проволоки должен быть измерен с максимально возможной точностью.
Кроме того, желательно проводить эксперимент таким образом, чтобы значения величин l1 и l2 и, соответственно, t1 и t2 как можно больше отличались друг от друга. 7. Проводят необходимые измерения и вычисляют модули кручения и модули сдвига еще для двух-трех материалов. 8. Сравнивают полученные значения модуля сдвига с табличными значениями и делают вывод о точности проделанных измерений.