Определение ускорения свободного падения при помощи оборотного маятника

Определение ускорения свободного падения при помощи оборотного маятника. Цель работы Изучение метода оборотного маятника для определения ускорения свободного падения. Идея эксперимента Применение оборотного маятника основано на свойстве сопряженности центра качания и точки подвеса. Это свойство заключается в том, что во всяком физическом маятнике можно найти такие две точки, что при последовательном подвешивании маятника за ту или другую из них период колебаний его остается одним и тем же. Расстояние между этими точками определяет собой приведенную длину данного маятника.

Теория и описание экспериментальной установки Если амплитуда физического маятника мала, то период его колебаний определяется формулой , 9.1 где J - момент инерции физического маятника относительно оси качания, l1 -расстояние между осью качания и центром тяжести маятника, m - масса маятника. По теореме Гюйгенса-Штейнера , 9.2 где J0 - момент инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести и параллельной оси качаний, а величины J, m и l1 те же, что и в формуле 9.1 . Если последовательно подвешивать маятник в двух точках, то периоды его колебаний определяются уравнениями 9.3 Отсюда имеем 9.4 Для величины ускорения свободного падения из последней формулы после преобразований получаем уравнение, данное Бесселем , 9.5 где l l1 l2 -приведенная длина маятника. Если периоды равны между собой T1 T2 T , уравнение принимает вид 9.6 Добиться полного равенства периодов нелегко.

Формула Бесселя позволяет достаточно просто и с неменьшей степенью точности определить величину ускорения при приближенном равенстве периодов колебаний.

Пусть T1 и Т2 близки друг к другу, а величины а1 и а2 сильно отличаются одна от другой. В этом случае, как видно из формулы 9.5 , нет необходимости определять величины а1 и а2 с большой степенью точности не точнее чем 1 мм. Оборотные маятники имеют различную форму.

Они обычно состоят из металлического стержня длиной свыше 1 м. По стержню могут передвигаться и закрепляться тяжелые и легкие чечевицы грузы и опорные призмы. Проведение эксперимента Измерения и обработка результатов. 1. Готовят оборотный маятник к измерениям. Опорные призмы рекомендуется расположить на расстояниях 20 - 25 см от концов маятника. Подвижную чечевицу последовательно перемещают с шагом 1-2 см от конца маятника к призме П2. В отчете выполняют чертеж маятника с указанием всех размеров, определяющих геометрию маятника. 2. Маятник приводят в колебание на опорной призме П1 и определяют период колебаний Т1. Измерение периода проводят, беря не менее 10 колебаний. Угловая амплитуда колебаний не должна превышать 4. 3. Меняют ось колебаний, подвешивая маятник на другой призме.

Проводят измерения периода Т2. 4. Перемещают чечевицу А2. Снова измеряют периоды колебаний на призмах П1 и П2. И т. д. Данные измерений заносят в таблицу 9.1 отчета. 5. По полученным данным строят графики зависимостей Т1 f1 d и Т2 f2 d, где d - расстояние от призмы П2 до подвижной чечевицы.

Точка пересечения кривых определяет такое положение чечевицы А2, при котором значения периодов наиболее близки. 6. Для найденного положения чечевицы А2 определяют периоды колебаний Т1 и Т2 в прямом и перевернутом положении маятника с наибольшей тщательностью. Определяют время 40 - 60 колебаний маятника не менее трех раз, откуда вычисляют средние значения периодов колебаний и погрешности их измерений. 7. Для определения положения центра тяжести маятника его тщательно уравновешивают на трехгранной подставке.

Измерение расстояний l1 и l2 производят масштабной линейкой с точностью до миллиметра. 8. По полученным данным с помощью формулы Бесселя 9.5 определяют величину ускорения свободного падения. 9. Относительная погрешность измерения ускорения свободного падения определяется по формуле , 9.5 где величина Т полная погрешность измерения одного из периодов. 10. В выводе сравнивают измеренное и табличное значения ускорения свободного падения.

ПРИМЕНЕНИЕ ЭЛЕКТРОННОГО ОСЦИЛЛОГРАФА К ИССЛЕДОВАНИЮ КОЛЕБАНИЙ Цель работы Изучить устройство, работу электронного осциллографа и генератора звуковой частоты и их применение к исследованию электрических колебаний звуковой частоты. Идея эксперимента При изучении механических колебаний в студенческой лаборатории возникают большие сложности при постановке и выполнении некоторых опытов. Так, например, нелегко на механических моделях провести наблюдения явлений, возникающих при сложении колебаний, или проводить измерения характеристик затухающих колебаний.

Это связано с трудностями изготовления соответствующих механических приборов и проведения измерений. В данной работе механические колебательные системы заменены на электрические - колебательные контуры и электрические генераторы, а основным измерительным прибором является электронный осциллограф, который обладает уникальными возможностями для наблюдения колебательных процессов. При этом наблюдения и выводы, сделанные в этой работе для электрических колебаний применимы и для механических колебаний.

Электронный осциллограф Блок-схема осциллографа представлена на рис.19. Основной блок осциллографа - электронно-лучевая трубка ЭЛТ , в которой возникает и фокусируется электронный луч. Там же расположены системы, с помощью которых можно управлять движением луча, отклоняя его в вертикальном и горизонтальном направлениях. Движущийся луч оставляет на экране трубки, покрытой специальным составом, светящийся след. Осциллограф имеет два входа.

Сигнал, поданный на Вход 1, поступает на усилитель У1, а затем подается на вертикально отклоняющую систему ЭЛТ. Сигнал, поданный на Вход 2, поступает на усилитель У2, а затем подается на горизонтально отклоняющую систему ЭЛТ. В дальнейшем Вход 1 будем называть Y-входом, Вход 2 - X-входом. Различают два основных режима работы осциллографа. В первом режиме на X- и Y-входы подаются два внешних сигнала.

Переключатель П устанавливается в положение 1. В результате сложения этих сигналов, действующих по двум взаимно-перпендикулярным направлениям, на экране ЭЛТ появляется линия. Во втором режиме на Y-вход подается один внешний сигнал. Переключатель П поставлен в положение 2. На усилитель У2 подается входное напряжение от генератора развертки ГР , обеспечивающее перемещение луча в горизонтальном направлении по линейному закону. На экране ЭЛТ возникает линия, характеризующая изменение внешнего сигнала во времени. На рис. 20 изображена передняя панель осциллографа С1-1 ЭО-7 , на которой распо- ложены экран ЭЛТ и основные ручки управления.

С помощью тумблера Сеть включается блок питания осциллографа. Тумблер Луч включает ЭЛТ. Луч, генерируемый в трубке, можно сфокусировать ручкой Фокус и отрегулировать ручкой Яркость. Ручки Ось Y и Ось X смещают луч в соответствующих направлениях. Сигнал, подаваемый на Y-вход, подводится к левым клеммам Вход и Земля. Амплитуда сигнала регулируется усилителем У1, управляемым ручками Усиление Y плавная регулировка и Ослабление грубая регулировка, расположенными в левой части панели.

Сигнал, подаваемый на X-вход, подводится к правым клеммам Вход и Земля. Амплитуда сигнала регулируется усилителем У2, управляемым ручкой Усиление X плавная регулировка, расположенной в правой части панели. Если осциллограф работает в первом режиме, то переключатель П поставлен в положения 1, чему соответствует установление ручки Диапазон частот, управляющей генератором развертки у метки Выкл. Если ручку Усиление X поставить на нуль, а ручку Усиление Y поставить примерно на середину шкалы, то на экране осциллографа появится вертикальная линия, длина которой пропорциональна амплитуде исследуемого сигнала при неизменном положении ручки Усиление Y . Выключив усилитель У1 и включив усилитель У2 ручка Усиление Х , увидим на экране горизонтальную линию. При одновременном включении ручек Усиление Х и Усиление Y светящийся след от электронного луча на экране будет перемещаться по траектории, образующейся в результате сложения взаимно перпендикулярных сигналов, подаваемых на Вход Х и Вход Y . Если осциллограф работает во втором режиме, то переключатель П поставлен в положение 2. В этом случае на горизонтально отклоняющие пластины ЭЛТ подается напряжение генератора развертки, имеющее пилообразный характер, то есть линейно нарастающее со временем, а затем также линейно убывающее.

При этом время падения напряжения значительно меньше времени возрастания напряжения.

И в этом случае при включении ручек Усиление Х и Усиление Y траектория следа электронного луча образуется в результате сложения сигналов, подаваемых на вертикально и горизонтально отклоняющие пластины. Если отношение частот этих сигналов выражается рациональной дробью, то на экране возникает устойчивое изображение развертки во времени сигнала, поданного на Y-вход. Чтобы согласовать частоту ГР с частотой сигнала, поданного на Y-вход, ручку Диапазоны частот нужно установить у метки, примерно соответствующей предполагаемой частоте исследуемого сигнала.

Полное согласование частоты ГР с частотой исследуемого сигнала достигается ручкой Частота плавно. Для полной синхронизации сигналов, подаваемых на горизонтально и вертикально отклоняющие пластины, можно использовать при необходимости переключатель Синхронизация и ручку Амплитуда синхронизации. В левой части передней панели осциллографа расположена клемма Контрольный сигнал. К ней подведен источник синусоидальных колебаний с частотой 50 Гц, который можно использовать как эталонный источник колебаний. Звуковой генератор ГЗ-33 Генератор ГЗ-33 предназначен для получения синусоидальных электрических колебаний звуковой частоты от 20 до 20 Гц. Амплитуда колебаний регулируется усилителем мощности.

На выходе колебания подаются на вольтметр и делитель напряжения аттенюатор, которой позволяет изменять выходное напряжение в широких пределах.

Ручки управления звуковым генератором выведены на его переднюю панель рис.21 . Частота колебаний устанавливается поворотом ручек Множитель ступенчатая регулировка и поворотом лимба плавная регулировка. Для определения частоты генератора в герцах нужно отсчет по шкале лимба умножить на показания переключателя Множитель. Вращением ручки Расстройка, можно плавно изменять частоту в пределах 1,5 от установленной.

Возбуждаемые в генераторе колебания подаются на клеммы Выход. Напряжение на выходе регулируется плавно с помощью ручки Рег. выхода и ступенчато через каждые 10 дБ при помощи переключателя аттенюатора, имеющего гравировку Пределы шкал - ослабление. Переключение пределов шкал в зависимости от выходного сопротивления производится переключателем Вых. сопротивление. При работе с сопротивлением нагрузки значительно больше 600 Ом для правильного отсчета выходного напряжения следует включить внутреннюю нагрузку тумблером Внутр. Нагрузка. Теория Сложение двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний Рассмотрим плоское движение материальной точки под действием двух взаимно перпендикулярных квазиупругих сил F1 и F2. В прямоугольной декартовой системе координат x0y, начало которой совпадает с положением равновесия материальной точки, а оси 0x и 0y направлены вдоль линий действия соответственно силы F1 и силы F2 уравнения движения имеют вид , 10.1 где k1 и k2 - коэффициенты квазиупругих сил F1 и F2. Зависимость координат от времени имеет вид , 10.2 где и - собственные циклические частоты.

Таким образом, движение точки является результатом сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний.

Траектория точки заключена внутри прямоугольника, стороны которого параллельны осям 0x и 0y и соответственно равны 2А1 и 2А2, а центр совпадает с точкой 0. В случае рационального отношения частот 1 и 2 траектории замкнуты и называются фигурами Лиссажу.

Вид фигур Лиссажу зависит от отношений 2 1, А2 А1 и разности фаз 2 - 1 рис.22 при неизменном отношении А2 А1 . Отношение частот Сдвиг фаз 0 45 90 135 180 1 1 1 2 2 3 Отношение частот 2 1 равно отношению числа касаний фигуры Лиссажу с горизонтальной и вертикальной сторонами прямоугольника, в который он вписывается.

Если 1 2, то фигуры Лиссажу имеют форму эллипса . 10.3 Такие колебания называются эллиптически поляризованными. На рис. 22 в верхней строке показаны частные случаи эллиптически поляризованных колебаний. Если, кроме того A1 A2 , то траектория точки имеет вид окружности. Такие колебания называются циркулярно поляризованными поляризованными по кругу. Если 2 -1 k k 0 1 2 , то эллипс вырождается в отрезок прямой и колебания называются линейно поляризованными. Сложение колебаний одного направления При сложении колебаний одного направления с одинаковой амплитудой А и близкими частотами и возникают сложные колебания, называемые биениями.

Запишем уравнения колебаний 10.4 Сложив эти выражения, получим 10.5 во втором множителе пренебрегаем членом 2, который значительно меньше. Движение, описываемое формулой 10.5 , можно рассматривать как гармоническое колебание частоты с переменной амплитудой рис. 23 . Величина амплитуды определяется модулем множителя, стоящего в скобках.

Частота пульсаций амплитуды частота биений равна разности частот колебаний, а период биений равен 10.6 Затухающие колебания Затухающими колебаниями называются колебания, энергия которых уменьшается с течением времени вследствие действия на колебательную систему сил сопротивления трения. Если принять, что сила трения пропорциональна скорости колеблющегося тела, где r - коэффициент трения, то дифференциальное уравнение затухающих колебаний системы имеет вид , 10.7 где - коэффициент затухания частота свободных колебаний системы в отсутствие трения.

Коэффициент затухания для данной колебательной системы и данной среды, в которой происходят затухания, является величиной постоянной. Промежуток времени 1 , в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в е 2,72 раз, называется временем релаксации. Если 0 , то система совершает затухающие колебания , 10.8 где A0 и 0 - постоянные, называемые начальной амплитудой и начальной фазой соответственно Величина А t A0e-t 10.9 называется амплитудой затухающих колебаний и убывает по экспоненциальному закону рис. 24 . Опытная проверка 10.9 сводимая к графическому изображению зависимости А от t, связана с трудностью идентификации распознавания закономерности. Задача упрощается переводом зависимости 10.9 в линейную путем замены переменных.

Действительно, прологарифмируем 10.9 lnA lnA0 - t 10.10 или . 10.11 Теперь в координатах ln A0 А , t получается прямая, изображенная на рис.25. Нетрудно видеть, что угловой коэффициент ее определяется соотношением . 10.12 Убывание A принято также характеризовать сравнением амплитуд, достигаемых через интервал t T, где T 2 - период колебаний.

Пусть в момент t амплитуда равна At, а в момент t T - At T . Отношение 1, 10.13 называется декрементом затухания, характеризующим быстроту убывания амплитуды.

Более удобен, однако, логарифмический декремент затухания ln Т, 1 , 10.14 Величина, обратная логарифмическому декрименту затухания, дает число колебаний, в течении которых амплитуда затухающего колебания уменьшается в е раз. Проведение эксперимента Задание 1. Включение и настройка осциллографа и генератора 1. Перед включением осциллографа устанавливают ручки регулировки регулятор яркости - в крайнее правое положение т.е. на максимальную яркость регулятор фокусировки - в среднее положение усиление по оси Y - в нулевое положение усиление по оси Х - в среднее положение переключатель диапазонов развертки - в положение 30-130. Вилку шнура питания включают в сеть и устанавливают тумблер Сеть в верхнее положение контрольная лампочка на передней панели должна загореться.

Прибор прогревают в течение 2-3 мин. Включают тумблер Луч, при этом на экране должна появиться яркая линия. Линия может не появляться вследствие слишком большого отклонения луча за пределы экрана трубки.

Для возвращения луча постепенно устанавливают регулятор положения луча на оси Y ручка Ось Y в разные позиции и в каждой из них поворачивают регулятор положения луча по оси X ручка Ось X . При нахождении линии уменьшают яркость и регулируют фокусировку до максимально четкого изображения. 2. Соединяют проводником клемму Контрольный сигнал с клеммой Y-вход, переключатель Диапазоны частот - в положение 30-130. Вращением ручек Частота плавно и Амплитуда синхронизации получают неподвижную картину развертки контрольного сигнала во времени переключатель Синхронизация устанавливают в положение Сеть или Внутр Регуляторами усиления по осям X и Y устанавлива- ют желаемые размеры изображения.

Исследуют влияние различных регуляторов на изображение. Изменяя частоту развертки, получают на экране 1, 2, 3 и т.д. полных колебаний. 3. Вилку шнура генератора ГЗ-33 включают в сеть переменного тока напряжением 220В. Тумблер включения сети ставят в положение Вкл, при этом должна загореться сигнальная лампочка.

К работе следует приступить после предварительного прогрева генератора в течение нескольких минут. Подключают выход генератора на Y- вход осциллографа. Сопротивление выходного устройства генератора должно быть согласовано с сопротивлением нагрузки в данном случае - осциллографа. Переключатель Вых. сопротивление необходимо поставить в положение, наиболее соответствующее величине нагрузки по указанию преподавателя или лаборанта. Затем ручкой Множитель и поворотом лимба установить произвольную частоту.

С помощью ручки Рег. выхода, а при необходимости и ручки Пределы шкал - ослабление генератора а также с помощью ручек управления осциллографа получают неподвижную картину развертки сигнала от генератора. Убеждаются в том, что генератор дает неискаженные гармонические колебания во всем диапазоне частот от 20 до 20000 Гц. Задание 2. Управление аплитудой колебаний звукового генератора 1. Колебания от звукового генератора подают на Y-вход. Получают на экране осциллографа вертикальную линию, длина которой пропорциональна амплитуде колебаний напряжения звукового генератора.

Поворачивают на панели генератора ручку Пределы шкал - ослабление, наблюдают изменение амплитуды колебаний генератора. Цифры в окне аттенюатора указывают пределы напряжения, измеряемого вольтметром, а цифра в нижней строке - затухание, т.е. отношение интенсивности колебаний на выходе ГЗ к интенсивности колебаний, подаваемых на вольтметр.

В децибелах может быть выражено отношение двух любых интенсивностей I1 и I2 . 10.15 Известно, что интенсивность пропорциональна энергии колебаний, а энергия пропорциональна произведению квадрата амплитуды на квадрат частоты колебаний. Следовательно . 10.16 Если 1 2 , то . 10.17 Таким образом изменение амплитуды колебаний на 10 дБ означает увеличение или уменьшение амплитуды в 3,16 раза. 2. Ставят ручку Пределы шкал - ослабление в положение 0 дБ и, пользуясь ручкой Рег. выхода, получают на экране осциллографа вертикальную прямую линию наибольшей длины, удобной для измерения.

Ручку Ослабление ставят в положение 1 1. Измеряют длину прямой а0 удвоенную амплитуду колебаний в делениях сетки на экране. Вводят затухание -10, -20 30 дБ, измеряя каждый раз длину линии а-1, а-2, а-3 . Частоту генератора поддерживают постоянной примерно 103 Гц . 3. Вычисляют отношения. По формуле 10.17 рассчитывают затухание. Сравнивают полученные результаты с затуханием, определенным по показаниям ручек Затухание, дБ . 4. Такие же измерения проводят, поставив ручку Пределы шкал - ослабления в положение 30 дБ а 3 , а затем переключая ее в положение 20, 10, 0 дБ а 2, а 1, а0 . 5. Результаты измерений и вычислений заносят в таблицу 10.1. отчета. В выводе оценивают точность измерений и правильность калибровки положения ручек ступенчатой регулировки амплитуды генератора.

Задание 3. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний 1. Подают контрольный сигнал на Y-вход осциллографа.

Выключают генератор развертки. На Х-вход подают сигнал от ГЗ-33. Получают на экране осциллографа кривые, возникающие в результате сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний от контрольного сигнала и звукового генератора. 2. Получают первую фигуру Лиссажу - эллипс. Для этого на генераторе должна быть выставлена частота 50 Гц. Для точной окончательной подгонки частот используют ручку Расстройка Если разность колебаний будет постоянной, то эллипс будет стабильно располагаться на экране.

Обычно же разность фаз медленно меняется и эллипс постепенно меняет форму, периодически вырождаясь в прямые линии. 3. Подбирают на генераторе кратные 50 Гц частоты колебаний 1 2 1 3 3 1 2 1 2 3 3 2 и получают следующие фигуры Лиссажу. Амплитуды колебаний подбирают так, чтобы фигуры вписывались в прямоугольник размером, например, 23 см. Зарисовывают фигуры в отчет, указывая, при каком отношении частот они получены. 4. На рисунках находят и указывают точки касания фигурами горизонтальной и вертикальной сторон прямоугольников.

В выводе сверяют отношение числа касаний и отношение частот колебаний. Задание 4. Сложение колебаний, направленных вдоль одной прямой 1. Для получения биений используют два одинаковых генератора ГЗ-33. 2. Для измерения периода биений удобно выбрать небольшие частоты складываемых колебаний, например, 50 и 51 Гц. Вначале подключают генераторы к Х и Y- входам осциллографа и, получив первую фигуру Лиссажу, тщательно уравнивают частоты колебаний генераторов - 50 Гц. 3. Затем сигналы от обоих генераторов подают на Y-вход. Частоту одного из генераторов изменяют на 1-2 Гц. Наблюдают на экране осциллографа картину биений.

Определяют период биений, измеряя время 10-20 биений. По формуле 10.6 рассчитывают период биений. В выводе сравнивают вычисленный и измеренный период биений. Задание 5. Изучение затухающих колебаний Для получения затухающих колебаний в данной работе используется специальная электрическая схема. Питание схемы осуществляется от генератора развертки осциллографа, для чего с помощью длинного проводника соединяют клемму П устройства с клеммой М , расположенной на задней панели осциллографа.

Клеммы Выход соединяют с Y-входом осциллографа. Включают осциллограф и получают устойчивую осциллограмму затухающих колебаний с десятью-двенадцатью полными колебаниями. Для окончательной стабилизации картинки используют ручку Амплитуда синхронизации, поставив переключатель вида синхронизации в положение Внутр 1. Используя сетку на экране осциллографа, измеряют амплитуды нескольких колебаний, отстоящие на один период друг от друга. 2. Для определения периода затухающих колебаний поступают следующим образом. Сначала подсчитывают число полных колебаний, приходящихся, например, на 10 больших клеток экранной сетки осциллографа.

Затем, не изменяя настроек осциллографа не трогая ручки Диапазоны частот и Частота плавно , Усиление X , вместо устройства для получения затухающих колебаний подключают к осциллографу генератор ГЗ-33. Пользуясь только ручками управления генератора, получают на экране синусоиду с таким же периодом с таким же количеством колебаний на экране, как и у затухающих колебаний.

Частоту определяют по лимбу генератора. Вычисляют период колебаний. 3. Вычисляют отношения А0 А0 , А0 А1 , А0 А2 , А0 А3 и т. д. и натуральные логарифмы этих отношений. Строят график ln A0 Ai f t от времени рис.25 . Масштаб времени равен периоду колебаний. По углу наклона прямой полученной прямой находят коэффициент затухания и логарифмический декремент затухания.