Одномерная цепочка с двумя атомами в примитивной ячейке. Исследуем теперь колебания цепочки, элементарная ячейка которой состоит из двух атомов с разными массами: M1 и M2, для определенности положим M1<M2. Период цепочки (расстояние между узлами ее решетки Браве) как и прежде обозначим через a (рис. 3). Для простоты будем считать, что пружинки соединяющие атомы имеют одинаковую жесткость г. Запишем закон Ньютона для двух атомов n-й ячейки: (22). Здесь un и vn – смещения соответственно маленького и большого атома n-й ячейки из положения равновесия.
Будем, как и в случае цепочки с одним атомом в примитивной ячейке, искать решение в виде плоской гармонической волны: (23). Амплитуды колебаний маленького и большого атомов A и B в общем случае разные как по абсолютной величине, так и по фазе. После подстановки (23) в (22) получим линейную однородную систему уравнений для A и B: –M1щ2A= г(Beika+B–2A) –M2щ2B= г(A+Ae–ika–2B) (24). Перепишем ее в стандартном виде: (25) Такая система имеет решения лишь в том случае, когда ее определитель равен нулю. Приравнивая нулю определитель (25) получим уравнение, связывающее щ и k, т. е. дисперсионное уравнение: M1M2щ4 – 2г(M1+M2)щ2+2г2(1–cos ka) = 0 (26). Это уравнение удобно переписать, использую приведенную массу атомов примитивной ячейки м: (27). (28) Его решения имеют вид: (29) или (30). Величина 4м2/(M1M2) при любых M1, M2 не превосходит единицы, поэтому подкоренное выражение всегда неотрицательно. 1.3.