Решение со знаком минус. В точке k = 0: (34). На границе зоны Бриллюэна: (35) При ka<< 1 (длинные волны): (36) Или другими словами: (37) Мы видим, что в длинноволновом пределе закон дисперсии этой ветви линеен, то есть, как и в случае цепочки с одним атомом в примитивной ячейке, описывает акустические колебания.
По этой причине вся ветвь (решение со знаком – ) называется акустической (рис.3.1). Выражение для скорости звука имеет такой же вид, что и соответствующее выражение для цепочки с одним атомом в ячейке (20) и зависит от тех же макроскопических характеристик: линейной плотности и упругой постоянной цепочки: (38). Линейная плотность двухатомной цепочки равна (M1+M2)/a, а упругая постоянная — г• a/2 (так как длина одной пружинки в наших обозначениях равна a/2). Это и неудивительно.
Мы уже видели, изучая цепочку с одним атомом в примитивной ячейке, что длинноволновые акустические колебания можно получить, рассматривая цепочку, как непрерывную упругую среду.
Атомы ячейки при таких колебаниях движутся вместе, как единое целое, поэтому структура примитивной ячейки не играет роли, а важны лишь макроскопические, усредненные характеристики цепочки. То, что атомы ячейки при длинноволновых акустических колебаниях движутся вместе, можно получить и непосредственно, решив систему (25). Эта система разрешима, когда ее определитель равен нулю, а определитель равен нулю, когда щ и k связаны законом дисперсии.
При этом уравнения системы уже не являются независимыми, и мы можем взять любое из них, чтобы найти отношение амплитуд A и B. Из первого уравнения системы (25) получаем: (39), откуда в пределе длинноволновых акустических колебаний (k→ 0, щ = s |k|→ 0) следует B/A→ 1, т. е. A = B: атомы движутся в фазе с одинаковыми амплитудами. Рис. 3.2. Амплитуды атомов цепочки в случае длинноволновых акустических колебаний.
Отметим также, что на границе зоны Бриллюэна групповая скорость ∂щ/∂ k равна нулю. Это утверждение справедливо для обеих ветвей колебаний.