Метод узловых потенциалов

Метод узловых потенциалов. Дано: R1 = 19,5 Ом E1 = 25,8 В R2 = 60 Ом E2 = 37,5 В R3 = 90 Ом E3 = 0 В R4.1 = 150 Ом I1 = 0,04 А R4.2 = 600 Ом I2 = 0 А R5 = 165 Ом I3 = 0 А R6.1 = 40 Ом R6.2 = 27,5 Ом Решение: 1. Определяем собственную проводимость узла, которая равна сумме проводимостей, сходящихся в узле g1 = 1 / R1 = 0,05 g4 = 1 / R4 = 0,01 g2 = 1 / R2 = 0,02 g5 = 1 / R5 = 0,01 g3 = 1 / R3 = 0,01 g6 = 1 / R6 = 0,01 2. Определяем взаимную проводимость в узле, которая равна проводимости ветви, соединяющей два узла g1.1 = g4 + g2 + g3 = 0,04 g1.2 = g2.1 = g3 = 0,01 g2.2 = g3 + g5 + g6 = 0,03 g2.3 = g3.2 = g5 = 0,01 g3.3 = g1 + g2 + g5 = 0,08 g1.3 = g3.1 = g2 = 0,02 3. Определяем сумму токов от источников, которые находятся в ветвях, сходящихся в данном узле I1.1 = – E2 / R2 = – 37,5 / 60 = – 0,625 I2.2 = 0 I3.3 = E1 / R1 + E2 / R2 = 25,02 / 19,5 + 37,5 / 60 = 1,905 4. Записываем в общем виде систему уравнений u1 • g1.1 – u2 • g1.2 – u3 • g1.3 = I1.1 – u1 • g2.1 + u2 • g2.2 – u3 • g2.3 = I2.2 – u1 • g3.1 – u2 • g3.2 + u3 • g3.3 = I3.3 5. Переписываем систему уравнений с числовыми коэффициентами 0,04 u1 – 0,01 u2 – 0,02 u3 = – 0,63 – 0,01 u1 + 0,03 u2 – 0,01 u3 = 0 – 0,02 u1 – 0,01 u2 + 0,08 u3 = 1,91 6. Считаем определители системы 0,04 – 0,01 – 0,02 Д = – 0,01 0,03 – 0,01 = 0,000096 – 0,02 – 0,02 – – 0,02 – 0,01 0,08 – 0,000012 – 0,04 – 0,08 = 0,000068 – 0,63 – 0,01 – 0,02 Д1 = 0 0,03 – 0,01 = – 0,001512 + 0,000191 + 0,001146 + 1,91 – 0,01 0,08 + 0,000063 = – 0,000112 0,04 – 0,63 – 0,02 Д2 = – 0,01 0 – 0,01 = – 0,000126 + 0,000382 + 0,000764 – – 0,02 1,91 0,08 – 0,000504 = 0,000516 0,04 – 0,01 – 0,63 Д3 = 0,01 0,03 0 = 0,002292 – 0,000063 – 0,000378 – – 0,02 – 0,01 1,91 – 0,000191 = 0,00166 7. Определяем узловые напряжения U1.1 = Д1 / Д = – 1,647 В U2.2 = Д2 / Д = 7,588 В U3.3 = Д3 / Д = 24,412 В 8. Используя II закон Кирхгофа, определяем токи в ветвях Я1 = (E1 – U3) / R1 = (25,02 – 24,412) / 19,5 = 0,03 А Я2 = (– E2 – U1 + U3) / R2 = (– 37,5 + 1,647 + 24,412) / 60 = – 0,19 А Я3 = (U1 – U2) / R3 = (– 1,647 – 7,588) / 90 = – 0,1 А Я4 = U1 / R4 = – 1,647 / 120 = – 0,01 А Я5 = (– U3 + U2) / R5 = (– 24,412 + 7,588) / 165 = – 0,1 А Я6 = U2 / R6 = 7,588 / 67,5 = 0,11 А 9. Проверка Я5 + Я1 – Я2 = – 0,1 + 0,03 + 0,191 = 0,12 Я3 – Я6 – Я5 = – 0,1 – 0,11 + 0,11 = – 0,11 Я6 + Я4 – Я1 = 0,11 – 0,01 – 0,03 = 0,07 Я2 – Я3 – Я4 = – 0,19 + 0,1 + 0,01 = – 0,08 ЗАДАЧА 2 Линейные электрические цепи синусоидального тока В сеть переменного тока с действующим значением напряжения U включена цепь, состоящая из двух параллельных ветвей.

Определить показания приборов, реактивную мощность цепи, коэффициент мощности и построить векторную диаграмму напряжений.

Указать на схеме положительное направление токов в ветвях и обозначить эти токи. Дано: R1 = 8 Ом R2 = 2 Ом U = 127 В јx c = 17 Ом Решение: 1. Примем начальную фазу напряжения равной нулю Щ = 127 е ј0 В 2. Определяем комплексное сопротивление z 1 = R1 = 8 Ом z 2 = R2 – јx c = √2 2 + 17 2 • е – ј arctg 17/4 = 17,1 е – 77 3. По закону Ома определяем комплексные точки Э 1 = Щ / z 1 = 127 е ј0 / 8 = 15,9 е ј0 А Э 2 = Щ / z 2 = 127 е ј0 / 17,1 е – 77 = 7,4 е ј 77 = = 7,4 • cos 77 + ј 7,4 • sin 77 = 1,7 + ј 7,2 4. Определяем полный комплексный ток Э = Э 1 + Э 2 = 15,9 е ј0 + 7,4 е ј 77 = 15,9 cos 0 + ј 15,9 sin 0 + + 7,4 cos 77 + ј 7,4 sin 77 = 17,5 + ј 7,2 = = √17,5 2 + 7,2 2 • е ј arctg 7,23/17,544 = 18,9 • е ј 22 А 18,9 А А1 15,9 А А2 7,4 А 5. Определяем полную мощность S = Э • Щ = 18,9 е ј 22 • 127 е ј0 = 2410,5 е ј 22 = = 2410,5 cos 22 + ј 2410,5 sin 22 = 2234,9 + ј 902,9 Э = 18,9 • е ј 22 S = 2410,5 ВА P = 2234,9 Вт Q = 902,9 ВАР 6. Определяем коэффициент мощности cos ц = P / S = 0,93 ЗАДАЧА 3 Линейные электрические цепи синусоидального тока В цепь переменного тока с мгновенным значением напряжения U = U m sin щt промышленной частоты f = 50 Гц включены резистор и конденсатор.

Определить показания приборов, реактивную и полную мощность цепи. Построить треугольник напряжений и векторную диаграмму напряжений. Дано: R = 2 Ом Um = 282 В x c = 17 Ом Решение: 1. Определяем напряжение на зажимах цепи U = Um / √2 = 282 / 1,41 = 200 В 2. Определяем накопленное емкостное сопротивление – јx c = – ј 17 = 17 е – ј 90 3. Определяем полное комплексное сопротивление цепи z Z = R – јx c = 2 – ј 17 = √2 2 + 17 2 • е – ј arctg 17/2 = 17,1 е – ј 83 4. Начальную фазу напряжения примем равной нулю Щ = 200 е ј0 В 5. Определяем комплексный ток по закону Ома Э = Щ / Z = 200 е ј0 / 17,1 е – ј 83 = 11,7 е ј 83 тогда показания амперметра IА = 11,7 А 6. Определяем комплексное напряжение на R ЩR = I R = 11,7 е ј 83 • 2 = 23,4 е ј 83 = = 23,4 cos 83 + ј 23,4 sin 83= 2,9 + ј23,2 7. Определяем напряжение на емкости Щc = Э (– ј x c) = 11,7 е ј 83 • 17 е – ј 90 = 198,6 е – ј 7 = = 198,6 cos 7 – ј 198,6 sin 7 = 197,1 – ј 24,2 тогда показания вольтметра Uc = 198,6 В 8. Определяем полную комплексную мощность цепи Ŝ = I* • Щ = 11,7 е -ј 83 • 200 е ј0 = 2336 е -ј 83 = = 2336 cos 83 – ј 2336 sin 83 = 284,7 – ј 2318,6 S = 2336 ВА P = 284,7Вт Q = 2318,6 ВАР 9. Определяем показатель фазометра ц = цu – цЯ = 0 – 83 = – 83 тогда показания фазометра cos ц = cos (– 83) = 0,12 ЗАДАЧА 4 Трехфазные электрические цепи синусоидального тока В трехфазную сеть с линейным напряжением Uл (действующее значение напряжения) по схеме «треугольник/треугольник» включены активно-индуктивные приемники.

Определить фазные и линейные токи в нагрузке, активную мощность всей цепи и каждой фазы отдельно.

Дано: RАВ = 8 Ом Uл = 127 В XСА = 3 Ом RСА = 2 Ом RВС = 3 Ом XАВ = 6 Ом XВC = 17 Ом Решение: 1. Т. к. рассматриваем соединение «треугольник/треугольник», то Uп = Uдо ЩАВ = 127 е ј 0 ЩВС = 127 е – ј 120 ЩСА = 127 е ј 120 2. Определяем комплексное полное сопротивление фаз zАВ = RАВ + ј xАВ = 8 + ј 6 = √82 + 62 • е ј arctg 6/8 = 10 е ј37 zВC = RВC + ј xВC = 3 + ј 17 = √32 + 172 • е ј arctg 17/3 = 17,3 е ј80 zCА = RСА + ј xСА = 2 + ј 3 = √22 + 32 • е ј arctg 3/2 = 3,6 е ј56 3. Определяем комплексные фазные токи Iф = Uф / zф ЭАВ = 127 е ј 0 / 10 е ј37 = 12,7 е -ј37 ЭВС = 127 е -ј 120 / 17,3 е ј80 = 7,3 е -ј200 ЭСА = 127 е ј 120 / 3,6 е ј56 = 35,3 е ј64 4. Определим сопряженные комплексные токи фаз: ЭАВ* = 12,7 е ј37 ЭВС* = 7,3 е ј200 ЭСА* = 35,3 е -ј64 5. Определяем комплексные полные мощности фаз S = IФ* • UФ SАВ = 12,7 е ј37 • 127 е ј 0 = 1612,9 е ј37 = 1612,9 cos 37 + ј 1612,9 sin 37 = 1288,1 + ј 970,7 SВC = 7,3 е ј200 • 127 е – ј 120 = 927,1 е -ј80 = = 927,1 cos 80 – ј 927,1 sin 80 = 161 – ј 913 SCА = 35,3 е -ј64 • 127 е ј 120 = 4483,1 е ј56 = 4483,1 cos 56 + ј 4483,1 sin 56 = = 2506,9 + ј 3716,7 6. Определяем активную мощность фаз PАВ = 1288,1 Вт PВC = 161 Вт PCА = 2506,9 Вт 7. Определяем активную мощность цепи Pц = PАВ + PВC + PCА = 3956 Вт