Решение задачи массопереноса в нулевом приближении. В пространстве изображений Лапласа-Карсона, для нулевого приближения вместо 1.5.51 - 1.5.57 получим следующую задачу, z 1, r 0, 2.1.1 , z 1, r 0, 2.1.2 , z - 1, r 0, 2.1.3 , 2.1.4 , 2.1.5 , 2.1.6 2.1.7 Решение уравнения 2.1.1 имеет вид . 2.1.8 Учитывая второе из граничных условий 2.1.5 , получим. Тогда . 2.1.9 Аналогично, для подстилающего пласта в пространстве изображений из 2.1.3 и 2.1.5 получим . 2.1.10 Учитывая граничные условия 2.1.4 , а также то, что в нулевом приближении плотность загрязнителя в пористом пласте не зависит от z и является функцией только от r и t, эти решения можно переписать в виде , 2.1.11 . 2.1.12 Эти выражения позволяют определить значения следов производных из внешних областей, входящих в уравнение для пласта, через плотность примеси в нем 2.1.13 Подставляя найденные значения производных 2.1.11 , 2.1.12 в уравнение 2.1.2 , соответствующее 1.5.52 в пространстве изображений, получим . 2.1.14 Группируя слагаемые и учитывая, что в последнем уравнении производная берётся только по одной переменной, перепишем 2.1.2 в виде . 2.1.15 Решение уравнения 2.1.15 . 2.1.16 Граничное условие 2.1.6 позволяет получить значение постоянной интегрирования. Окончательно в пространстве изображений в нулевом приближении для пористого пласта получим . 2.1.17 Введём обозначение для выражения, стоящего в квадратных скобках , 2.1.18 при этом . 2.1.19 С учетом 2.1.11 и 2.1.12 полное решение задачи в пространстве изображений представляется как , 2.1.20 , 2.1.21 . 2.1.22 Для удобства перехода в пространство оригиналов, полученные решения с учётом 2.1.18 представим в форме , 2.1.23 , 2.1.24 . 2.1.25 Переход в пространство оригиналов осуществим, используя формулы обратного преобразования Лапласа - Карсона 23 , где единичная функция Хевисайда 2.1.26 2.1.27 В нашем случае, совершив обратное преобразование Лапласа - Карсона, и перейдя в пространство оригиналов, решение задачи в нулевом приближении представим в виде 2.1.28 2.1.29 2.1.30 соответственно для пористого, настилающего и подстилающего пластов.
Первый сомножитель в решении 2.1.28 - 2.1.30 описывает уменьшение плотности загрязнителя в результате радиоактивного распада, второй - функция Хевисайда, определяет радиус распространения зоны заражения и третий выражение в фигурных скобках учитывает изменение плотности из-за диффузии загрязнителя и радиоактивного распада продиффузирующего нуклида.
Рассмотрим упрощённую модель в которой не учитывается радиоактивный распад в накрывающем и подстилающем пластах.
В этом случае в правых частях уравнений 1.5.51 , 1.5.53 будет стоять нуль, граничные условия и условия сопряжения не изменятся.
Аналогично, в пространстве изображений равны нулю правые части 2.1.1 и 2.1.3 . Математическая постановка соответствующей задачи в пространстве изображений, z 1, r 0, 2.1.31 , z 1, r 0, 2.1.32 , z - 1, r 0, 2.1.33 , 2.1.34 , 2.1.35 , 2.1.36 2.1.37 Ход решения идентичен решению задачи с учётом распада в кровле и подошве. Учитывая граничные условия 2.1.34 и то, что в нулевом приближении плотность загрязнителя в пористом пласте не зависит от z и является функцией только от r и t, решения уравнений 2.2.31 , 2.1.33 можно записать в виде , 2.1.38 . 2.1.39 Тогда для следов производных, входящих в 2.1.32 2.1.40 Подставляя найденные значения производных в уравнение 2.1.32 , получим . 2.1.41 Решение уравнения 2.1.41 с учётом граничного условия 2.1.36 имеет вид . 2.1.42 Введём обозначение . 2.1.43 Тогда полное решение задачи в пространстве изображений . 2.1.44 , 2.1.45 . 2.1.46 Для удобства перехода в пространство оригиналов, решения с учётом 2.1.43 запишем в виде , 2.1.47 , 2.1.48 . 2.1.49 Перейдем в пространство оригиналов, используя формулы обратного преобразования Лапласа - Карсона 23 2.1.50 В нашем случае имеем . 2.1.51 Совершив обратное преобразование Лапласа - Карсона, и перейдя в пространство оригиналов, решение задачи в нулевом приближении представим в виде 2.1.52 2.1.53 2.1.54 Учтём, что наиболее важные физические результаты обусловливаются нулевым приближением асимптотического разложения, первый и последующий коэффициенты определяют поправки. Кроме того, в силу малости коэффициента диффузии 10-9?10-11 распространение загрязнителя в водоупорных пластах в вертикальном направлении ничтожно по сравнению с конвективном переносом в пористом пласте и слабо влияет на размеры зоны заражения, поэтому проведём сравнение полученных результатов только для пористого пласта 2.1.28 , 2.1.52 . На рис. 2.1 показана зависимость разности между плотностями загрязнителя в пористом пласте без учёта и с учетом радиоактивного распада в водоупорных пластах от координаты r. График 1 соответствует периоду полураспада Т1 2 100 лет, 2 - 10 лет, 3 - 1 год. Вычисления проведены для времени 30лет, интенсивность закачки - 100 м3 сут. Рис. 2.1. Зависимость разности для нулевого приближения между плотностями загрязнителя в пористом пласте без учёта и с учетом радиоактивного распада в водоупорных пластах от координаты r при различных постоянных распада 1-At 0.1, 2 - 1, 3 - 10. Другие расчётные параметры t 10 Pd 102 Из рис. 2.2 следует, что возникающая при замене 2.1.28 на 2.1.52 относительная разность, возрастает при увеличении постоянной распада уменьшении периода полураспада и для короткоживущих нуклидов T1 2100сут. на фронте загрязнителя составляет более 0,4. Однако, абсолютная разность плотностей при этом уменьшается с ростом At и для тех же короткоживущих нуклидов становится ничтожно малой рис. 2.1 . Расчёты приведены для безразмерного времени t 10, что соответствует размерному времени 30 лет. При уменьшении расчётного времени погрешности также уменьшаются.
Рис. 2.2. Зависимость относительной разности для нулевого приближения между плотностями загрязнителя в пористом пласте без учёта и с учетом радиоактивного распада в водоупорных пластах от координаты r при различных постоянных распада 1-At 0.1, 2 - 1, 3 - 10. Другие расчётные параметры t 10 Pd 102 На рис. 2.3 видно, что и сами абсолютные значения плотностей короткоживущих загрязнителей для указанного момента времени на границе зоны загрязнения практически обращаются в ноль. При увеличении периода полураспада нуклида до 30 лет абсолютное значение плотности его на границе зоны загрязнения остаётся весьма значительным рис. 2.3 , но относительная разность между результатами 2.1.28 и 2.1.52 составляет несколько процентов рис.2.2 . Уменьшение при расчётах коэффициента ? на порядок приводит к уменьшению абсолютной и относительной разности ещё примерно вдвое.
Рис. 2.3 Зависимость нулевого приближения плотности радиоактивного загрязнителя в пористом пласте от координаты r без учёта распада в окружающих пластах. при различных постоянных распада 1-At 0.1, 2-1, 3 - 10. Другие расчётные параметры t 10 Pd 102 Всё это позволяет для практических расчётов пренебречь радиоактивным распадом в водоупорных пластах, что существенно упрощает расчётные формулы.
Поэтому в дальнейшем мы и в массо- и в теплообменной задаче будем игнорировать этот распад.
Поскольку вклад радиоактивного распада описывается сомножителем, то можно утверждать, что концентрация радиоактивного загрязнителя уменьшается в е раз за счет распада на расстояниях, определяемых простым соотношением Re h. Отсюда следует, что для короткоживущих изотопов зона загрязнения невелика.
С другой стороны, для уменьшения зоны влияния долгоживущих радиоактивных изотопов следует уменьшать скорость фильтрации.
Полученное решение содержит функцию Хевисайда, которая позволяет указать, что плотность радиоактивных изотопов обращается в ноль при r Это соотношение позволяет определить радиус зоны радиоактивного заражения Rp h . 2.1.55 При Аt 0 из 2.1.52 - 2.1.54 следуют решения без учета радиоактивного распада 2.1.56 2.1.57 2.1.58 Пренебрежение влиянием массообмена с окружающей средой на плотность примесей в пласте в 2.1.52 - 2.1.54 , позволяет получить приближение, которое можно с высокой точностью использовать для расчета тепловых полей в подземных горизонтах 2.1.59 2.1.60 2.1.61 Устремляя ? 0 в 2.1.59 - 2.1.61 , получим так называемое бездиффузионное приближение 2.1.62 2.1.63 2.1.64 границы применимости которого обсуждается в 2.3. 2.2.